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| Aufgabe | Berechnen Sie den Wert des Riemann-Integrals
[mm] \integral_{1}^{-1}{\wurzel(1-x²) dx}
[/mm]
und damit den Flächeninhalt des Halbkreises in der Ebene.
Anleitung: Verwenden Sie die Substitution x = sin t =: g(t) und die Identität
cos² t = [mm] \bruch{1}{2}(1 [/mm] + cos 2t) (Additionstheorem). |
Hallo Leute,
also ich habe ein Problem mit der Aufgabe. Und zwar habe ich nicht ganz verstanden wie das mit der Substitution funktioniert.
Mein Ansatz ist irgendwie schwachsinnig:
[mm] \integral_{1}^{-1}{\wurzel(1-x²) dx} [/mm] = [mm] \integral_{1}^{-1}{\wurzel(1-sin² t) dt} [/mm] = [mm] \integral_{1}^{-1}{\wurzel(cos² t) dt} [/mm] = [mm] \integral_{1}^{-1}{cos t dt}
[/mm]
und dann einfach integrieren, ganz normal. Aber das ist ja Schwachsinn, zu einfach und ohne Gebrauch des vorgegebenen Theoremes.
Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:15 Mo 26.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo heusspower!
Du musst auch das Differential [mm] $d\red{x}$ [/mm] korrekt in [mm] $d\red{t}$ [/mm] umwandeln.
Dafür gilt:
[mm] $$\bruch{dx}{dt} [/mm] \ = \ [mm] \cos(t)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
tut mir Leid, aber das verstehe ich nicht ganz. Es ist mir irgendwo schon klar, dass ich falsch substituiere, ich weiß aber leider nicht wie das genau geht.
Also wenn ich substituiere muss ich doch eigentlich folgenden Rechenschritt machen:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(g(x))*g'(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{f(z) dz}
[/mm]
Aber was ist hier g'(x) oder so?
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Hallo heusspower,
> Hallo Loddar,
>
> tut mir Leid, aber das verstehe ich nicht ganz. Es ist mir
> irgendwo schon klar, dass ich falsch substituiere, ich weiß
> aber leider nicht wie das genau geht.
>
> Also wenn ich substituiere muss ich doch eigentlich
> folgenden Rechenschritt machen:
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(g(x))*g'(x) dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(z) dz}[/mm]
> Aber was ist hier g'(x) oder
> so?
Berechnet wird
[mm]\integral_{a}^{b}{f(z) \ dz}[/mm]
Durch die Substitution
[mm]z=g\left(x\right) \Rightarrow dz = g'\left(x\right) \ dx[/mm]
geht das Integral über in
[mm]\integral_{g^{-1}\left(a\right)}^{g^{-1}\left(b\right)}{f(g(x))*g'(x) \ dx}[/mm]
Gruß
MathePower
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Hallo MathePower,
Vielen Dank für deine Antwort!
Ich glaube ich habe es jetzt verstanden, aber könntest du bitte kurz kontrollieren ob ich richtig rechne:
[mm] \integral_{-1}^{1}{\wurzel(1-x²) dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{arcsin -1}^{arcsin 1}{\wurzel(1-sin² t)*cos t dt}
[/mm]
[mm] =\integral_{arcsin -1}^{arcsin 1}{\wurzel(cos² t)*cos t dt}
[/mm]
[mm] =\integral_{arcsin -1}^{arcsin 1}{cos² t dt} [/mm]
Ist es bislang richtig?
Von hieraus wüsste ich wie es weiter geht, das Intergral von cos² x hatten wir bereits in der Schule, allerdings nicht mit diesem Additionstheorem.
Vielen Dank im Voraus!
P.S.: Wie bekomme ich es hin, dass zwischen der Variable t und dem dt von den Integralen ein Leerzeichen ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Mo 26.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Alles richtig.
Gruss leduart
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