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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:40 Mi 30.04.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo alle zusammen!
Ich beschäftige mich gerade mit dem Thema der Vertauschbarkeit des Integrals mit Grenzprozessen und bin auf ein Beispiel gestoßen, welches ich nicht wirklich verstehe.
Beispiel:
Sei [mm] ( X, \mathcal A, \mu ) = ( \mathbb R, \mathcal B^1 , \lambda^1 )[/mm] und [mm] f_n := \chi_{ \left[n, n+1 \right] } [/mm].
Dann ist [mm] \integral f_n d \lambda = 1 \forall n [/mm] also
[mm] \limes_{n} \integral f_n d \lambda = 1 [/mm]
Die Folgen [mm] f_n [/mm] konvergiert punktweise gegen 0.
Also ist [mm] \integral ( \limes_{n} f_n ) d \lambda = 0 < \limes_{n} \integral f_n d \lambda [/mm].
Frage 1:
Wird hier der Satz der monotonen Konvergenz verwendet? Wenn ja, dann muss ja [mm] f_n [/mm] eine monoton wachsende
Folge sein, das sehe ich nicht. Warum ist das ggf so?
Frage 2:
Ich sehe nicht warum die Folge [mm] f_n [/mm] punktweise gegen NUll konvergiert? - Das schließt ja schon meine 1 Frage aus, oder? Dann kann die Folge doch gar nicht monoton wachsend sein, oder?
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:54 Mi 30.04.2008 | | Autor: | Blech |
> Beispiel:
>
> Sei [mm]( X, \mathcal A, \mu ) = ( \mathbb R, \mathcal B^1 , \lambda^1 )[/mm]
> und [mm]f_n := \chi_{ \left[n, n+1 \right] } [/mm].
> Dann ist
> [mm]\integral f_n d \lambda = 1 \forall n[/mm] also
> [mm]\limes_{n} \integral f_n d \lambda = 1[/mm]
>
> Die Folgen [mm]f_n[/mm] konvergiert punktweise gegen 0.
> Also ist [mm]\integral ( \limes_{n} f_n ) d \lambda = 0 < \limes_{n} \integral f_n d \lambda [/mm].
>
> Frage 1:
>
> Wird hier der Satz der monotonen Konvergenz verwendet? Wenn
Nein. Das Beispiel zeigt ja gerade einen Fall, wo man Limes und Integral nicht vertauschen kann, oder? =)
> Frage 2:
> Ich sehe nicht warum die Folge [mm]f_n[/mm] punktweise gegen NUll
> konvergiert? - Das schließt ja schon meine 1 Frage aus,
weil [mm] $\forall x\in\IR\ \exists N\in\IN: f_n(x)=0\ \forall n\geq [/mm] N$.
Für beliebiges x nimmst Du einfach die nächstgrößere natürliche Zahl als N. Für alle Folgenglieder ab dem N-ten hast Du die Indikatorfunktion "an x vorbeigeschoben", d.h. die Funktion konvergiert für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] gegen 0.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Mi 30.04.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Vielen Dank für Antwort!
Jetz sehe ich auch die punktweise Konvergenz!
Eine Frage hätte ich aber noch. Und zwar, da das hier ein Beispiel ist, bei dem der Satz der monotonen Konvergenz nicht greift, müssen ja die Voraussetzungen für den Satz verletzt sein.
Kann es sein, dass hier die die Voraussetzung der monotonen Folge nicht gegeben ist?
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Mi 30.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Irmchen!
> Eine Frage hätte ich aber noch. Und zwar, da das hier ein
> Beispiel ist, bei dem der Satz der monotonen Konvergenz
> nicht greift, müssen ja die Voraussetzungen für den Satz
> verletzt sein.
> Kann es sein, dass hier die die Voraussetzung der monotonen
> Folge nicht gegeben ist?
Ja, das ist der Fall. Wenn du $n, m$ hast mit $n + 1 < m$, dann berechne doch mal [mm] $f_n(n)$ [/mm] und [mm] $f_n(m)$ [/mm] und [mm] $f_m(n)$ [/mm] und [mm] $f_m(m)$. [/mm] Was sagt dir das ueber [mm] $f_n \le f_m$ [/mm] oder [mm] $f_m \le f_n$?
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Mi 30.04.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
>
> Ja, das ist der Fall. Wenn du [mm]n, m[/mm] hast mit [mm]n + 1 < m[/mm], dann
> berechne doch mal [mm]f_n(n)[/mm] und [mm]f_n(m)[/mm] und [mm]f_m(n)[/mm] und [mm]f_m(m)[/mm].
> Was sagt dir das ueber [mm]f_n \le f_m[/mm] oder [mm]f_m \le f_n[/mm]?
Also:
[mm] f_n (n) = \chi_{ \left[n, n+1 \right] } (n) = 1 [/mm]
[mm] f_n (m) = 0 [/mm]
[mm] f_m (n) = 0 [/mm]
[mm] f_m (m) = 1 [/mm].
Jetzt sehe ich, dass [mm] f_n (n) > f_m (n) [/mm] und dass [mm] f_n (n+1) > f_m (n+1 ) [/mm].
Und nun? Irgendwie stehe ich auf'm Schlauch :-( ....
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Mi 30.04.2008 | | Autor: | Blech |
[mm] $f_1(1)=1>0=f_2(1)$
[/mm]
D.h. es gilt schon mal nicht [mm] $f_2\geq f_1$
[/mm]
Jetzt wäre das für den Satz noch nicht unbedingt ein Problem, weil wir ja am Anfang beliebig viele Folgenglieder ignorieren können, so lange nur endlich viele Glieder die Forderung [mm] $f_n\geq f_m$ [/mm] für [mm] $n\geq [/mm] m$ verletzen. (weil die ersten k Folgenglieder ja keine Auswirkung auf den Grenzwert haben, egal welchen Wert wir für k wählen).
Nun ist es aber so, daß Du für beliebiges [mm] $n,m\in\IN,\ [/mm] n>m$ Dir [mm] $x\in\IR$ [/mm] so suchen kannst, daß [mm] $f_n(x)=0<1=f_m(x)$, [/mm] d.h. Du findest kein k wie oben: Es gibt kein [mm] $k\in\IN$ [/mm] mit [mm] $f_n\geq f_m$ $\forall n,m\in\IN$ $n\geq m\geq [/mm] k$.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:19 Do 01.05.2008 | | Autor: | Irmchen |
Vielen vielen Dank für die Antworten!
Viele Grüße
Irmchen
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