Integral = 0 < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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ich habe eine frage zu intgralen.
wenn ich eine gleichung der form [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] ... = 0 habe, mit a<0<b habe, kann ich dann davon ausgehen, dass ... = 0 gilt?
wenn nicht, wie kann ich dann so eine gleichung lösen, wenn ein produkt von zwei funktionen in dem integral steht, also z.b. so: [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] f(x)g(x) dx = 0???
(in der schule sind mir integrale nur als flächeninhalte begegnet, die immer [mm] \ge [/mm] 0 waren, und = 0 nur, wenn im integral eine nullfunkion stand... jedefalls meine ich, mich so daran zu erinnern....)
danke schonmal für hilfe
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Wenn ein Integral [mm]\integral_{a}^{b}{...}dx=0[/mm] ist, dann muss das ... nicht unbedingt die Nullfunktion sein (übrigens muss auch nicht unbedingt a<0<b gelten, dazu später ein Beispiel).
Nimm z.B. die bzgl. des Ursprungs symmetrische Funktion [mm]f(x)=x^3[/mm]. Wenn du hier von -a bis a (also -5 bis 5, oder -17 bis 17 u.s.w.) integrierst, dann erhältst du immer Null.
Warum? Die Vorstellung von "Integral=Flächeninhalt" stimmt so nicht ganz. "Orientierter Flächeninhalt" trifft's eher.
Was das bedeutet: vielleicht hast du schon mal Integrale berechnet, bei denen der Wert dann negativ war. Für'n Flächeninhalt passt das nicht.
Denk dir mal ne Funktion, die an den Stellen [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] Nullstellen hat (ist von der Vorstellung einfach, aber es müssen keine Nullstellen sein). Wenn du jetzt das Integral [mm]\integral_{x_1}^{x_2} {f(x)}dx[/mm] berechnest, dann kannst du vorhersagen, ob was Positives, oder was Negatives rauskommt (ob der Flächeninhalt "positiv oder negativ orientiert ist"): fahr mit dem Finger von der ersten Grenze [mm]x_1[/mm] zur zweiten Grenze [mm]x_2[/mm], und dann auf der Kurve entlang zurück zu [mm]x_1[/mm]. Wenn diese Bewegung im Gegenuhrzeigersinn verlaufen ist, dann ist die Fläche positiv orientiert, also kommt was Positives raus. Uhrzeigersinn = negativ orientiert.
Auf den Skizzen sieht du: links eine positiv orientierte Fläche, rechts eine negativ orientierte.
[Dateianhang nicht öffentlich] [Dateianhang nicht öffentlich]
Bei meinem Beispiel am Anfang mit der zu (0/0) symmetr. Kurve [mm]x^3[/mm] und Integration von z.B. -2 bis 2 ist's jetzt so: von -2 bis 0 "sammelt" sich genausoviel negativ orientierte Fläche an, wie von 0 bis +2 positiv orientierte Fläche. Und somit ergibt sich Null für den Wert des Integrals (die Gesamtfläche wäre natürlich nicht Null).
a<0<b muss auch nicht gelten; z.B. ist die Funktion [mm]f(x)=(x-3)^3[/mm] einfach die um 3 nach rechts verschobene Kurve [mm]x^3[/mm]. Wenn ich jetzt das Integral [mm]\integral_{1}^{5} {(x-3)^3}dx[/mm] berechne, erhalte ich auch Null, obwohl beide Grenzen positiv sind.
Bei deiner letzten Frage weiß ich leider nicht, was du mit "Gleichung lösen" meinst... nach was willst du die Gleichung [mm]\integral{f(x)g(x)}dx=0[/mm] denn lösen? Sollte in einer der Funktionen ein Parameter stehen, der irgendwie bestimmt werden soll, ist es meistens am einfachsten, die Funktionen f(x) und g(x) auszumultiplizieren, das Produkt "ganz normal" zu integrieren, und dann zu schauen, für welchen Wert des Parameters dieser Term dann Null wird.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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erstmal danke für diese detailierte antwort, das nenn ich verständlich!!!
also bei der zweiten frage ist klar, dass ich normalerweise die beiden funktionen ausmultiplizieren müsste...
das problem ist jetzt aber, dass ich diese funktionen nicht kenne.
ich habe f(x):=x²g(x). daraus folgt: f(0)=0. und ich habe eben das integral
[mm] \integral_{-1}^{1} [/mm] {f(x)g(x) dx}. jetzt suche ich eine funktion g(x), für die gilt: [mm] \integral_{-1}^{1} [/mm] f(x)g(x) dx = 0
also [mm] \integral_{-1}^{1} [/mm] x²g²(x) dx = 0
mein problem ist jetzt nur das produkt, da ich nicht genau weiß, wie ich ein entsprechende g(x) finden kann...
aber ich werde mal noch ein bisschen herumprobieren.
danke jedenfalls!
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Hallo!
Leider habe ich nicht viel Zeit, aber versuch's doch mal allgemein mit partieller Integration, die wird glaube ich auch Produktintegration genannt und müsste in jeder Formelsammlung zu finden sein, falls du es aus der Schule nicht kennst oder wieder vergessen hast.
Viele Grüße und guten Rutsch
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:51 Fr 31.12.2004 | | Autor: | andreas |
hi Katilein84
in diesem spezialfall geht es sogar recht einfach (ich nehem mal an, dass [m] g [/m] reellwertig ist, also eine funktion [m] g : [-1, 1] \longrightarrow \mathbb{R} [/m] und nicht komplexwertig, also [m] g : [-1, 1] \longrightarrow \mathbb{C} [/m], weil dann wäre es nicht mehr ganz so einfach).
in diesem fall ist der integrand [m] x^2 (g(x))^2 = (x g(x))^2 [/m] positiv, da quadrate reeller zahlen immer positiv sind, also [m] 0 \leq x^2 (g(x))^2 [/m]. dann gilt aber wegen der monotien des integrals (das heißt ganz einfach, wenn [m] h_1 (x) \leq h_2 (x) [/m], dann gilt auch [m] \int h_1(x) \, \textrm{d}x \leq \int h_2(x) \, \textrm{d}x [/m]), dass
[m] 0 = \int_{-1}^1 0 \, \textrm{d} x \leq \int_{-1}^1 x^2 (g(x))^2 \, \textrm{d} x [/m]
wenn du noch eine zusätzliche vorrausstzung hast, z.b. dass $g$ stetig sein soll, dann löst dies dein problem schon, denn dann gilt [m] \int_{-1}^1 h(x) \, \textrm{d} x = 0[/m] und [m] h(x) \geq 0 [/m] stetig, dann folgt [m] h(x) = 0 \; \forall \, x \in [-1, 1] [/m]. (einen beweis für diese aussage in etwas allgemeinerer form findest du z.b. hier).
hoffe der aufaschrieb ist nicht zu wirr, wenn doch frage nochmal nach.
grüße
andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:18 Sa 01.01.2005 | | Autor: | e.kandrai |
So ähnlich hatte ich mir's gestern auch noch gedacht, allerdings mit der Begründung: [mm]x^2[/mm] ist gerade Funktion, also müsste das [mm]g^2(x)[/mm] ungerade Funktion sein, damit [mm]\integral_{-1}^{1} {x^2 \cdot g^2(x)} =0[/mm] sein kann, und dazu müsste [mm]g(x) \equiv 0[/mm] sein. Aber die Begründung zieht nur für Polynome auf [-1 ; 1] stetige Funktionen, oder?
Wenn [mm]g(x)[/mm] nicht stetig sein muss, dann könnte man z.B. wählen [mm]g(x)=\bruch{1}{\wurzel{x^3}}=x^{-\bruch{3}{2}}[/mm]. Dann wäre das Integral ja [mm]\integral_{-1}^{1} {\bruch{1}{x}\ dx} = [ln|x|]_{-1}^{1} = ln(1) - ln(1) =0[/mm].
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:16 Sa 01.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi e.kandrai
die argumentation, wie ich sie angegeben habe funktioniert auf jeden fall nur für stetige funktionen auf [m] [-1, 1] [/m]. deine argumentation wird wohl auch für unstetige funktionen funktionieren (wobei man da wohl noch ein paar zusatzforderungen stellen muss - ich denke da folgt nur der charakter der funktion [m] \lambda[/m]-f.ü. ?).
das beispiel, warum dem nicht so ist, ist etwas unglücklich gewählt, da
[m] g(x) = \frac{1}{\sqrt{x^3}} = x^{-\frac{3}{2}} [/m]
für negaives [m] x [/m] im reelen wohl gar nicht definiert ist. außerdem hast du bei dem von dir angegeben integral [m] \int_{-1}^1 \frac{\textrm{d}x}{x} [/m] das problem, dass du über eine singularität bei $x = 0$ integrierst und das integral meiner einschätzung nach garnicht existiert.
ich denke aber, dass deine argumentation mit geraden bzw. ungeraden funktionen hier schon in einer größeren funktionenklasse angewendet werden kann.
grüße
adreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:11 So 02.01.2005 | | Autor: | Katilein84 |
danke andreas, hast mir echt weitergeholfen.
hatte zwar einige mühe, den beweis zu verstehen, aber ich habs jetzt hinbekommen.
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