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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:58 Mo 01.08.2011 | | Autor: | pyw |
| Aufgabe | | [mm] \int^b_a\frac{1}{(x^2+1)^2}dx [/mm] |
Hallo,
in einer Rechnung dazu steht:
[mm] \int_a^b\frac{1}{(x^2+1)^2}dx=\frac{1}{2}\left(\left[\frac{x}{x^2+1}\right]_a^b+\int_a^b\frac{1}{x^2+1}dx\right).
[/mm]
Ich sehe das aber überhaupt nicht, es sieht nach partieller Integration aus, aber wie?
Bitte um Hilfe!
Gruß,
pyw
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Hallp pyw,
> [mm]\int^b_a\frac{1}{(x^2+1)^2}dx[/mm]
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> Hallo,
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> in einer Rechnung dazu steht:
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> [mm]\int_a^b\frac{1}{(x^2+1)^2}dx=\frac{1}{2}\left(\left[\frac{x}{x^2+1}\right]_a^b+\int_a^b\frac{1}{x^2+1}dx\right).[/mm]
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> Ich sehe das aber überhaupt nicht, es sieht nach
> partieller Integration aus, aber wie?
Hmm, das erschließt sich mir auf einen Blick auch nicht - auch auf zwei Blicke nicht ...
Aber muss man sich über eine evtl. mögliche partielle Integration Gedanken machen?
Es führt doch die Substitution [mm] $x=\tan(u)$ [/mm] sehr schnell zum Ziel, wenn ich das recht sehe. Da tauchen doch überall die Ableitungen davon auf ...
>
> Bitte um Hilfe!
>
> Gruß,
> pyw
Gruß
schachuzipus
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Hossa :)
Mit partieller Integration hat das weniger zu tun. Hier wird vielmehr die Quotientenregel ausgenutzt bzw. die Tatsache, dass der Nenner dabei quadriert wird:
[mm] $\left(\frac{x}{x^2+1}\right)^\prime=\frac{1\cdot(x^2+1)-x\cdot2x}{(x^2+1)^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{2-(1+x^2)}{(x^2+1)^2}=\frac{2}{(x^2+1)^2}-\frac{1}{x^2+1}$
[/mm]
Mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung erhält man das gesuchte Ergebnis:
[mm] $\int\frac{1}{(x^2+1)^2}\,dx=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x^2+1}+\int\frac{1}{x^2+1}\,dx\right)$
[/mm]
Viele Grüße
Hasenfuss
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:51 Di 02.08.2011 | | Autor: | fred97 |
Es gilt folgende Rekursionsformel:
[mm] $\int\frac{\mathrm dx}{x^2+1} [/mm] = [mm] {\mathrm {arctan}(x)}+C$
[/mm]
und
[mm] $\int\frac{\mathrm dx}{(x^2+1)^n} [/mm] = [mm] \frac{x}{2(n-1)(x^2+1)^{n-1}} [/mm] + [mm] \frac{2n-3}{2(n-1)}\int\frac{\mathrm dx}{(x^2+1)^{n-1}} [/mm] $ für $n [mm] \ge [/mm] 2$
FRED
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