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Integral: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:45 Do 10.06.2010
Autor: grenife

Aufgabe
Bestimmen Sie das Integral:
[mm] $\int\frac{dx}{x^3+1}$ [/mm]

Hallo zusammen,

dank des Wolfram Integrators kenne ich die Lösung:

[mm] $-\frac{1}{6}\ln(x^2-x+1)+\frac{1}{3}\ln(x+1)+\frac{\tan^{-1}\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)}{\sqrt{3}}$ [/mm]

Nur, wie komme ich darauf?:-)

Bringt mir die Substitution von [mm] $z=x^3+1$ [/mm] etwas? Ich würde vermuten, dass mich das nicht weiterbringt, da ich dann [mm] $dz/dx=3x^2+1$ [/mm] hätte und sich das $x$ nicht rauskürzt.

Wäre für einen Denkanstoß sehr dankbar.

Viele Grüße
Gregor

        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:49 Do 10.06.2010
Autor: reverend

Hallo grenife,

zerleg den Nenner: [mm] x^3+1=(x+1)(x^2-x+1) [/mm]

Dann partiell weiter.

Grüße
reverend

Bezug
                
Bezug
Integral: Nachtrag
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:05 Do 10.06.2010
Autor: reverend

Hallo nochmal,

gfm hat Recht (s.u.).
Mein Weg geht nicht auf, also dann nur über Partialbruchzerlegung wie dort gezeigt.

Grüße
reverend

Bezug
        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:49 Do 10.06.2010
Autor: gfm


> Bestimmen Sie das Integral:
>  [mm]\int\frac{dx}{x^3+1}[/mm]
>  Hallo zusammen,
>  
> dank des Wolfram Integrators kenne ich die Lösung:
>  
> [mm]-\frac{1}{6}\ln(x^2-x+1)+\frac{1}{3}\ln(x+1)+\frac{\tan^{-1}\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)}{\sqrt{3}}[/mm]
>  
> Nur, wie komme ich darauf?:-)
>  
> Bringt mir die Substitution von [mm]z=x^3+1[/mm] etwas? Ich würde
> vermuten, dass mich das nicht weiterbringt, da ich dann
> [mm]dz/dx=3x^2+1[/mm] hätte und sich das [mm]x[/mm] nicht rauskürzt.
>  
> Wäre für einen Denkanstoß sehr dankbar.
>  
> Viele Grüße
>  Gregor

[mm] \frac{1}{x^3+1}=\frac{1}{(x+1)(x^2-x+1)}=\frac{1}{3}\Big(\frac{1}{x+1}-\frac{x-2}{x^2-x+1}\Big)=\frac{1}{3}\Big(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{2}\frac{2x-1}{x^2-x+1}+\frac{3}{2}\frac{1}{x^2-x+1}\Big) [/mm]
[mm] =\frac{1}{3}\frac{d}{dx}(\ln(x+1))-\frac{1}{6}\frac{d}{dx}\ln(x^2-x+1)+\frac{1}{2}\frac{1}{(x-1/2)^2+3/4} [/mm]

[mm] \frac{1}{2}\frac{1}{(x-1/2)^2+3/4}=\frac{2}{3}\frac{1}{((2x-1)/\wurzel{3})^2+1}=\frac{1}{\wurzel{3}}\frac{d}{dx}\arctan((2x-1)/\wurzel{3}) [/mm]

LG

gfm

Bezug
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