Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gib ein Stammfkt von
x-> [mm] \bruch{cos(x)}{1-cos(x)} [/mm] |
Hallo an alle!
Also ich hab da schon mal angefangen;
Ich habe cos(x) = t gesetzt und erhalte folgende Gleichung:
[mm] \bruch{t}{1-t} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-t} [/mm] - 1
das dann integriert ergäbe dann:
-ln(1-t) - t = -ln(1-cos(x)) - cos(x)
das aber abgeleitet würde aber
[mm] \bruch{sincos(x)}{1-cos} [/mm] ergeben
wo in der Aufgabe ist jetzt mein Fehler?
Schon mal vielen Dank im Vorraus
lg
chrissi
|
|
| |
|
Hallo Chrissi!
Schreibe Dir das ganze mal als vollständiges Integral auf. Dann sollte Dir auffallen, dass Du mit der Substitution $t \ := \ [mm] \cos(x)$ [/mm] vergessen hast, das Differential $dx_$ in $dt_$ umzuwandeln.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
danke, ja das hab ich vergessen;
|
|
|
| |
|
ich komm da jetz aber immer noch nicht weiter;
[mm] \bruch{dt}{dx}=t
[/mm]
=> dx= [mm] \bruch{dt}{t}
[/mm]
wenn ich aber [mm] \bruch{t}{1-t} \bruch{dt}{t} [/mm] schreib kann des ja auch net stimmen;
wie komm ich da jetz weiter?
lg
chrissi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:08 Mi 21.10.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Kürze das t, und zwar wie folgt.
$$ [mm] \integral\bruch{cos(x)}{1-cos(x)}dx [/mm] $$
$$ [mm] \stackrel{t:=\cos(x)}{=}\integral\bruch{t}{1-t}dx [/mm] $$
$$ [mm] \stackrel{dx=\bruch{dt}{t}}{=}\integral\bruch{t}{1-t}\bruch{dt}{t} [/mm] $$
$$ [mm] =\integral\bruch{1}{1-t}dt [/mm] $$
Und nach diversen Tabellen gilt:
[mm] \integral\bruch{1}{a-y}dy=-\ln(a-y) [/mm] (Mit Substitution v:=a-y lösbar), also
$$ [mm] \integral\bruch{1}{1-t}dt [/mm] $$
$$ [mm] =-\ln(1-t) [/mm] $$
$$ [mm] =-\ln(1-\cos(x)) [/mm] $$
Marius
|
|
|
| |
|
Hallo Marius!
Siehe mal hier ...
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
> Hallo
>
> Kürze das t, und zwar wie folgt.
>
> [mm]\integral\bruch{cos(x)}{1-cos(x)}dx[/mm]
> [mm]\stackrel{t:=\cos(x)}{=}\integral\bruch{t}{1-t}dx[/mm]
>
> [mm]\stackrel{dx=\bruch{dt}{t}}{=}\integral\bruch{t}{1-t}\bruch{dt}{t}[/mm]
> [mm]=\integral\bruch{1}{1-t}dt[/mm]
>
> Und nach diversen Tabellen gilt:
> [mm]\integral\bruch{1}{a-y}dy=-\ln(a-y)[/mm] (Mit Substitution
> v:=a-y lösbar), also
>
> [mm]\integral\bruch{1}{1-t}dt[/mm]
> [mm]=-\ln(1-t)[/mm]
> [mm]=-\ln(1-\cos(x))[/mm]
Danke für die Antwort, aber beim Ableiten bekomme ich aber dann nich mehr die Anfangsgleichung raus;
kann das dann stimmen?
lg
chrissi
|
|
|
| |
|
Hallo chrissi!
> Danke für die Antwort, aber beim Ableiten bekomme ich
> aber dann nich mehr die Anfangsgleichung raus;
> kann das dann stimmen?
Nein, das kann nicht stimmen ... siehe dazu auch hier.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
Hallo chrissi!
> [mm]\bruch{dt}{dx}=t[/mm] => dx= [mm]\bruch{dt}{t}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Wo kommt denn das her????
Es gilt doch $t \ := \ [mm] \cos(x)$ [/mm] .
Damit gilt auch:
$$t' \ = \ [mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] \ = \ [mm] -\sin(x) [/mm] \ \ \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ \ \ dx \ = \ [mm] -\bruch{dt}{\sin(x)}$$
[/mm]
Das hilft hier also nur wenig weiter ...
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
Hallo chrissi!
Hier würde ich erst einmal mit [mm] $\left[ \ 1+\cos(x) \ \right]$ [/mm] erweitern.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
Danke für die Antworten;
des hab ich auch schon versucht aber ich weiß nicht, was ich mit
[mm] \bruch{cos(x)+cos^2(x)}{sin^2(x)}
[/mm]
anfangen soll wenn ichs aufteile hab ich
[mm] \bruch{cos(x)}{sin^2(x)} [/mm] + [mm] \bruch{cos^2(x)}{sin^2(x)}
[/mm]
da kann ich ja nicht mehr substituieren
was soll ich denn daraus machen?
lg
chrissi
|
|
|
| |
|
> Danke für die Antworten;
>
> des hab ich auch schon versucht aber ich weiß nicht, was
> ich mit
> [mm]\bruch{cos(x)+cos^2(x)}{sin^2(x)}[/mm]
> anfangen soll wenn ichs aufteile hab ich
> [mm]\bruch{cos(x)}{sin^2(x)}[/mm] + [mm]\bruch{cos^2(x)}{sin^2(x)}[/mm]
> da kann ich ja nicht mehr substituieren
> was soll ich denn daraus machen?
>
> lg
> chrissi
naja bei dem ersten integral substituiere z=sin(x) dann kürzt sich das cos(x) wegen dem differential weg und du hast ein elementares integral..
bei dem 2. integral:
[mm] \frac{cos^2(x)}{sin^2(x)}=\frac{1-sin^2(x)}{sin^2(x)}=\frac{1}{sin^2(x)}-1
[/mm]
wobei beide in der formelsammlung stehen sollten 
mfg tee
|
|
|
| |
|
Danke für die Antwort; auf diese Lösung wäre ich nie gekommen;
danke nochmal dafür
lg
chrissi
|
|
|
|
