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| Aufgabe | | [mm] \integral{\frac{dx}{x^3+1}} [/mm] |
Hallo!
Bei diesen Integral weiß ich nicht mehr weiter...Könnte mir bitte jemand einen Tipp geben?
Ich habe Partialbruchzerlegt und den Nenner in [mm] (x^2+x+1)(x-1) [/mm] aufgespalten. Das Intergrtal mit (x-1) ging so relativ schnell aber [mm] \integral{\frac{-x+1}{x^2+x+1}}??? [/mm] Alles schon versucht...
Versuchte z.B partielle Integration mit [mm] v=\frac{1}{ x^2+x+1} [/mm] und u'=-x+1und anschließende Substitution von [mm] x^2+x+1...
[/mm]
Vielen Dank!
Gruß
Angelika
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:53 Sa 20.06.2009 | | Autor: | ullim |
Hi,
versuchs mal mit folgendm Ansatz
[mm] \bruch{1}{x^3+1}=\bruch{A}{x+1}+\bruch{B+C*x}{x^2-x+1}
[/mm]
weil die Nullstellen von [mm] x^3+1 [/mm] ja
-1, [mm] \bruch{1}{2}+\bruch{i*\wurzel{3}}{2} [/mm] und [mm] \bruch{1}{2}-\bruch{i*\wurzel{3}}{2} [/mm] sind.
mfg ullim
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Entschuldigung! Ich habe das Integral in der Aufgabenstellung falsch geschrieben. Es muss im Nenner [mm] x^3-1 [/mm] heißen. Dann stimmt meine Partialbruchzerlegung doch, aber ich komme eben beim angegeben Teilintegral nicht weiter...
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Du kannst auch dabei Ullims Hinweis benutzen:
x=1 ist einzige reelle Nullstelle, also ist [mm]x^3-1=(x-1)*(x^2+x+1)[/mm].
Die passende Partialbruchzerlegung musst du dann also wie von ihm beschrieben ansetzen:
$ [mm] \bruch{1}{x^3-1}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{B+C\cdot{}x}{x^2+x+1} [/mm] $
Vielleicht weißt du ja selbst, wie es dann weitergeht... ansonsten:
- mit "Hauptnenner" multiplizieren (links steht dann 1, rechts viel Zeug mit [mm] x^2,x, [/mm] A,B,C)
- rechts sortieren nach [mm] x^2, [/mm] x und Zahlen
- Koeffizientenvergleich
Dann kannst du sozusagen 2 der 3 Teile des Integrals ohne weiteres bestimmen - und vielleicht siehst du für den letzten Teil, wie du substituieren kannst, ansonsten frag nochmal nach.
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Hallo und Danke erstmal!
Wie ich in meinem 1. Beitrag geschrieben habe, ist die Partialbruchzerlegung bereits gemacht und Schwierigkeiten ergeben sich nur mehr beim 2. Teilintegral [mm] \integral{\frac{-x+1}{x^2+x+1}dx}. [/mm] Das erste Teilintegral habe ich bereits integriert: [mm] \frac{1}{3}ln|x-1|.Ich [/mm] weiß wirklichnicht wie ich beim 2. Teilintegral substituieren sollte...könntest du das bitte noch genauer erklären?
Gruß
Angelika
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Hallo Angelika,
> Hallo und Danke erstmal!
>
> Wie ich in meinem 1. Beitrag geschrieben habe, ist die
> Partialbruchzerlegung bereits gemacht und Schwierigkeiten
> ergeben sich nur mehr beim 2. Teilintegral
> [mm]\integral{\frac{-x+1}{x^2+x+1}dx}.[/mm]
Das stimmt nicht ganz ...
> Das erste Teilintegral
> habe ich bereits integriert: [mm]\frac{1}{3}ln|x-1|.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ich weiß
> wirklichnicht wie ich beim 2. Teilintegral substituieren
> sollte...könntest du das bitte noch genauer erklären?
Es bleibt nach der PBZ als 2tes Integral $-\frac{1}{3}\cdot{}\int{\frac{x+2}{x^2+x+1} \ dx}$ (ohne Gewähr  )
Das ist ja so ähnlich wie deines, also mal die Strategie ...
Zuerst mal erweitern mit \red{2}:
$...=-\frac{1}{3\cdot{}\red{2}}\cdot{}\int{\frac{\red{2}(x+2)}{x^2+x+1} \ dx}=-\frac{1}{6}\cdot{}\int{\frac{2x+4}{x^2+x+1} \ dx}=-\frac{1}{6}\cdot{}\int{\frac{2x+1+3}{x^2+x+1} \ dx}=-\frac{1}{6}\int{\frac{2x+1}{x^2+x+1} \ dx} \ - \ \frac{1}{6}\int{\frac{3}{x^2+x+1}$
Das erste ist nun ein logarithmisches Integral, das kennst du entweder oder substituierst den Nenner $u=u(x):=x^2+x+1$
Das hintere vereinfache noch zu $-\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x^2+x+1} \ dx}$
quadratische Ergänzung im Nenner
$=-\frac{1}{2}\int{\frac{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} \ dx}$
Du kennst sicher das Integral $\int{\frac{1}{1+t^2} \ dt}$ ...
Damit im Hinterkopf überlege dir eine Substitution ...
>
> Gruß
>
> Angelika
LG
schachuzipus
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Herrliche Strategie!!
Sowas hatte ich noch nie...Einen Trick mehr in der Kiste!
Nur verstehe ich nicht ganz wie du auf das 2. Integral kommst:
[mm] x=A(x^2+x+1)+(Bx+C)(x-1)=x^2(A+B)+x(A-B+C)+A-C
[/mm]
Mache ich den Koeffizientenvergleich komme ich auf:
[mm] C=\frac{1}{3}=A
[/mm]
[mm] B=-\frac{1}{3}
[/mm]
So erhalte ich als Integral doch [mm] \frac{1}{3}\integral{\frac{-x+1}{x^2+x+1}dx}..
[/mm]
Gruß
Angelika
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Hallo AbraxasRishi,
> Herrliche Strategie!!
>
> Sowas hatte ich noch nie...Einen Trick mehr in der Kiste!
>
> Nur verstehe ich nicht ganz wie du auf das 2. Integral
> kommst:
>
> [mm]x=A(x^2+x+1)+(Bx+C)(x-1)=x^2(A+B)+x(A-B+C)+A-C[/mm]
>
> Mache ich den Koeffizientenvergleich komme ich auf:
>
> [mm]C=\frac{1}{3}=A[/mm]
>
> [mm]B=-\frac{1}{3}[/mm]
>
> So erhalte ich als Integral doch
> [mm]\frac{1}{3}\integral{\frac{-x+1}{x^2+x+1}dx}..[/mm]
>
Der Ansatz lautet:
[mm]\bruch{1}{x^{3}-1}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{Bx+C}{x^{2}+x+1}[/mm]
Daher auch
[mm]1=A*\left(x^{2}+x+1\right)+\left(Bx+C\right)*\left(x-1\right)[/mm]
Durch Koeffizientenvergleich erhält man dann A,B und C,
woraus sich wiederum das 2. Integral erschliesst.
> Gruß
>
> Angelika
Gruß
MathePower
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Hallo Angelika,
dein Ansatz für die PBZ ist schon in Ordnung, aber ...
> Herrliche Strategie!!
>
> Sowas hatte ich noch nie...Einen Trick mehr in der Kiste!
>
> Nur verstehe ich nicht ganz wie du auf das 2. Integral
> kommst:
>
> [mm] $\red{x}=A(x^2+x+1)+(Bx+C)(x-1)=x^2(A+B)+x(A-B+C)+A-C$
[/mm]
Wie kommst du hier auf das x linkerhand? Du hast doch das Integral [mm] $\int{\frac{dx}{x^3-1}}=\int{\frac{\red{1}}{x^3-1} \ dx}$
[/mm]
Also ergibt sich doch [mm] $\red{1}=A(x^2+x+1)+(Bx+C)(x-1)=x^2(A+B)+x(A-B+C)+A-C$
[/mm]
Damit
1) $A+B=0$
2) $A-B+C=0$
3) $A-C=1$
>
> Mache ich den Koeffizientenvergleich komme ich auf:
>
> [mm]C=\frac{1}{3}=A[/mm]
>
> [mm]B=-\frac{1}{3}[/mm]
>
> So erhalte ich als Integral doch
> [mm]\frac{1}{3}\integral{\frac{-x+1}{x^2+x+1}dx}..[/mm]
>
> Gruß
>
> Angelika
>
LG
schachuzipus
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Ihr werdert lachen....Das Integral lautet [mm] \integral{\frac{x}{x^3-1}dx} [/mm] aber mir ist es gelungen, es in der Aufgabenstellung ein 2. mal falsch abzuschreiben!!? Jedenfalls danke für eure Hilfe! Dein Ansatz funktioniert trotzdem.
Gruß
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