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> Integral errechnen
> HI
> ich habe folgendes Integral:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{x^2/\wurzel{(1-x^2) dx}}[/mm]
>
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Partielle integration kommt mir nicht so übel vor, ich denke, daß Du anschließend noch eine Substitution brauchst, oder umgekehrt.
Zwei Möglichkeiten für einen Beginn:
[mm] 1.\integral_{0}^{1}{x^2/\wurzel{(1-x^2) dx}}=\integral_{0}^{1}{(-x)*\bruch{-2x}{2\wurzel{(1-x^2)}}},
[/mm]
und nun partiell integrieren.
2. [mm] \integral_{0}^{1}{x^2/\wurzel{(1-x^2) dx}}
[/mm]
Substitution mit [mm] x=\sin{t} [/mm] .
Bei Nachfragen poste bitte mit, was Du bisher gerechnet hast. (Der Rechnende bist in diesem Forum eher Du...)
Gruß v. Angela
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Ok danke für die schnelle Hilfe. Ich glaube, dass ich es verstanden habe.
Im Moment habe ich noch ein 2. Problem. Dies stand im Internet:
[mm] \integral_{-1}^{1}{\wurzel{1-x^2} dx} [/mm] = [mm] \integral_{-\pi/2}^{\pi/2}{\wurzel{1-(sin u)^2} (sin u)' du}
[/mm]
Mir ist klar, dass hier substituiert wurde. Jedoch versteh ich nicht, wieso auf einmal (sin u) eingesetzt werden kann. Gibt es dafür irgendeine Formel?
Außerdem weiß ich auch nicht, wieso die Grenzen jetzt Pi/2 und -Pi/2 sind.
Wie kommt das zustande?
Falls es so aussieht als würde ich einfach nur fragen und nicht selbst nachdenken, kann ich euch beruhigen. So ist es nicht, da mich diese Probleme schon ein paar Tage beschäftigen.
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> Ok danke für die schnelle Hilfe. Ich glaube, dass ich es
> verstanden habe.
> Im Moment habe ich noch ein 2. Problem. Dies stand im
> Internet:
> [mm]\integral_{-1}^{1}{\wurzel{1-x^2} dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{-\pi/2}^{\pi/2}{\wurzel{1-(sin u)^2} (sin u)' du}[/mm]
>
> Mir ist klar, dass hier substituiert wurde. Jedoch versteh
> ich nicht, wieso auf einmal (sin u) eingesetzt werden kann.
> Gibt es dafür irgendeine Formel?
> Außerdem weiß ich auch nicht, wieso die Grenzen jetzt Pi/2
> und -Pi/2 sind.
> Wie kommt das zustande?
>
> Falls es so aussieht als würde ich einfach nur fragen und
> nicht selbst nachdenken, kann ich euch beruhigen. So ist es
> nicht, da mich diese Probleme schon ein paar Tage
> beschäftigen.
>
Nein, nein, solche Nachfragen sind völlig in Ordnung.
Substituieren kannst Du?
Denn an dieser Stelle gibt es ja zwei Fragen:
1. Wie kommt man darauf, mit x= [mm] \sin [/mm] u zu substituieren?
2. Wie geht substituieren?
zu 1:
Weil man oft genug selbst darüber gestaunt hat, wenn bei [mm] \wurzel{1-x^2} [/mm] so substituiert wurde, und weil man endlich auch mal verblüffen möchte.
(Das das funktioniert, hängt natürlich mit cos^2x+sin^2x=1 zusammen.)
zu 2.
Setze
[mm] x=\sin [/mm] u
Dann ist [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = [mm] \cos [/mm] x, also
dx [mm] =\cos [/mm] u du.
Die Grenzen vorher waren x-Grenzen.
Jetzt machen wir u-Grenzen daraus:
obere: x=1
x=sin u , also [mm] 1=\sin [/mm] u ==> [mm] u=\pi/2
[/mm]
untere: x=-1
x=sin u , also [mm] -1=\sin [/mm] u ==> [mm] u=-\pi/2
[/mm]
Gruß v. Angela
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