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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:05 So 30.12.2007 | | Autor: | Savoyen |
Hallo.
| Aufgabe |
Wir definieren
[mm] A_x [/mm] := [mm] \{ y \in \IR : (x,y) \in A\} [/mm] und [mm] A_y [/mm] := [mm] \{ x \in \IR : (x,y) \in A \}
[/mm]
für alle x [mm] \in \IR [/mm] und [mm] y\in \IR [/mm] und alle Teilmengen A von [mm] \IR^2.
[/mm]
Sei nun [mm] D:=\{(a,a) : a \in \IR \} [/mm] die Diagonale im [mm] \IR^2. [/mm] Berechnen Sie [mm] (\delta [/mm] ist das Zählmaß auf [mm] \IB(\IR))
[/mm]
[mm] \int \lambda(D_x) \delta(dx) [/mm] und [mm] \int \delta(D_y) \lambda(dy)
[/mm]
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Lösung
[mm] D_x [/mm] = [mm] \{ y \in \IR : (x,y) \in D \} [/mm] = [mm] \{x\}
[/mm]
[mm] D_y [/mm] = [mm] \{x \in \IR: (x,y) \in D\} [/mm] = [mm] \{y\}
[/mm]
Mir ist das hier nicht ganz erleuchtend, ist [mm] \{x\} [/mm] und [mm] \{y\} [/mm] vielleicht vertauscht? Oder wie kommt man drauf?
[mm] \lambda(Dx) [/mm] = 0
[mm] \delta(Dy) [/mm] = 1
Wie kommt man denn schon hierauf?
[mm] \int \lambda (D_x) \delta [/mm] (dx) = 0
[mm] \int \delta(D_y) \lambda(dy) [/mm] = [mm] \int [/mm] 1 [mm] \lambda(dy) [/mm] = [mm] \int 1_{(-\infty, \infty)} \lambda [/mm] (dy) = [mm] \lambda ((-\infty, \infty) [/mm] = [mm] \infty.
[/mm]
Fast klar. Warum ist es bei der Infikatorfunktion das Intervall [mm] (-\infty, \infty). [/mm] Wegen a [mm] \in \IR?
[/mm]
Grüße
Savoyen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 So 30.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo.
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> Wir definieren
>
> [mm]A_x[/mm] := [mm]\{ y \in \IR : (x,y) \in A\}[/mm] und [mm]A_y[/mm] := [mm]\{ x \in \IR : (x,y) \in A \}[/mm]
>
> für alle x [mm]\in \IR[/mm] und [mm]y\in \IR[/mm] und alle Teilmengen A von
> [mm]\IR^2.[/mm]
> Sei nun [mm]D:=\{(a,a) : a \in \IR \}[/mm] die Diagonale im [mm]\IR^2.[/mm]
> Berechnen Sie [mm](\delta[/mm] ist das Zählmaß auf [mm]\IB(\IR))[/mm]
>
> [mm]\int \lambda(D_x) \delta(dx)[/mm] und [mm]\int \delta(D_y) \lambda(dy)[/mm]
>
>
> Lösung
> [mm]D_x[/mm] = [mm]\{ y \in \IR : (x,y) \in D \}[/mm] = [mm]\{x\}[/mm]
>
> [mm]D_y[/mm] = [mm]\{x \in \IR: (x,y) \in D\}[/mm] = [mm]\{y\}[/mm]
>
> Mir ist das hier nicht ganz erleuchtend, ist [mm]\{x\}[/mm] und
> [mm]\{y\}[/mm] vielleicht vertauscht? Oder wie kommt man drauf?
Einsetzen der Definition: [mm](x,y) \in D \gdw x=y[/mm], also bleibt nur ein Element übrig, im ersten Fall das eine y, das gleich x ist, also x.
> [mm]\lambda(Dx)[/mm] = 0
[mm]D_x[/mm] ist Lebesgue-Nullmenge.
> [mm]\delta(Dy)[/mm] = 1
[mm]D_y[/mm] hat ein Element.
> [mm]\int \lambda (D_x) \delta[/mm] (dx) = 0
>
> [mm]\int \delta(D_y) \lambda(dy)[/mm] = [mm]\int[/mm] 1 [mm]\lambda(dy)[/mm] = [mm]\int 1_{(-\infty, \infty)} \lambda[/mm]
> (dy) = [mm]\lambda ((-\infty, \infty)[/mm] = [mm]\infty.[/mm]
>
> Fast klar. Warum ist es bei der Infikatorfunktion das
> Intervall [mm](-\infty, \infty).[/mm] Wegen a [mm]\in \IR?[/mm]
Weil über ganz [mm]\IR[/mm] integriert wird, es ist doch [mm]\integral_\IR[/mm] gemeint.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 So 30.12.2007 | | Autor: | Savoyen |
Das war ja simpel. Dankeschön
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