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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:08 Sa 16.06.2007 | | Autor: | Aeryn |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die folgenden Integrale
a) [mm] \integral_{0}^{1} x\wurzel{1+x^{2}} [/mm] dx |
Meine Vorläufige Lösung wäre:
[mm] u=\wurzel{1+x^{2}} [/mm]
wenn x=0, dann ist u=1; wenn x=1, dann [mm] u=\wurzel{2}
[/mm]
daher: [mm] \integral_{0}^{1} x\wurzel{1+x^{2}} [/mm] dx = [mm] \integral_{1}^{\wurzel{2}} [/mm] xu du
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Hallo Aeyrn,
das klappt so nicht,
wie willst du denn das letzte Integral bilden? Du willst nach u integrieren, hast
aber auch noch x drin stehen.
Probiers mal mit der Substitution [mm] $u:=1+x^2$
[/mm]
Das klappt bestimmt besser...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:41 Sa 16.06.2007 | | Autor: | Aeryn |
ja stimmt es ist einfacher :)
wenn ich es nach deiner substitution löse, also:
[mm] u=1+x^{2}
[/mm]
du=2x dx
[mm] dx=\bruch{du}{2x}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1} x\wurzel{u} \bruch{du}{2x} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1} \bruch{1}{2} \wurzel{u} [/mm] du
[mm] \bruch{1}{2} \integral_{0}^{1} \wurzel{u} [/mm] du = [mm] \bruch{2}{3} u^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}*\bruch{2}{3} (1+x^{2})^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
stimmen die grenzen noch? von 0 bis 1?
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Hallo,
> ja stimmt es ist einfacher :)
> wenn ich es nach deiner substitution löse, also:
>
> [mm]u=1+x^{2}[/mm]
>
> du=2x dx
>
> [mm]dx=\bruch{du}{2x}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{1} x\wurzel{u} \bruch{du}{2x}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{1} \bruch{1}{2} \wurzel{u}[/mm] du
>
> [mm]\bruch{1}{2} \integral_{0}^{1} \wurzel{u}[/mm] du = [mm]\red{\frac{1}{2}\cdot{}}\bruch{2}{3} u^{\bruch{3}{2}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2}*\bruch{2}{3} (1+x^{2})^{\bruch{3}{2}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") [mm] =\frac{1}{3}(1+x^{2})^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
>
> stimmen die grenzen noch? von 0 bis 1?
Entweder du substituierst die Grenzen mit, dann muss - sobald du dx durch du ausdrückst auch bei den Grenzen u=1 bis u=2 stehen ODER
du bildest allgemein die Stammfkt ohne Grenzen, substituierst zurück und setzt dann die "alten" Grenzen x=0 bis x=1 ein
LG
schachuzipus
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Hallo nochmal,
mit "deiner" Substitution" [mm] u:=\sqrt{1+x^2} [/mm] geht's auch, ist nur etwas
mehr Rechenarbeit:
[mm] \Rightarrow u^2=1+x^2\Rightarrow x=\sqrt{u^2-1}\Rightarrow \frac{dx}{du}=\frac{2u}{2\sqrt{u^2-1}}\Rightarrow dx=\frac{u\cdot{}du}{\sqrt{u^2-1}}
[/mm]
Alles ersetzen ergibt:
[mm] \int{x\sqrt{1+x^2\dx}}=\int{\sqrt{u^2-1}\cdot{}u\cdot{}\frac{u\cdot{}du}{\sqrt{u^2-1}}}=\int{u^2du}=\frac{1}{3}u^3=\frac{1}{3}\sqrt{1+x^2}^3
[/mm]
Passt also auch. Kannst dir aussuchen, was eleganter ist 
LG
schachuzipus
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