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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:09 Sa 09.06.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | Man berechne (für m,n = 0,1,2,...)
[mm] \integral_{0}^{1}{x^n ( 1 - x)^m dx} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich brauche mal einen Ansatz für obige Aufgabe, hat jemand evtl. eine Idee, wie man
diese Aufgabe lösen kann?
Danke und Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:14 Sa 09.06.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bodo!
Multipliziere den Ausdruck [mm] $(1-x)^m$ [/mm] mit Hilfe des ![[]](/images/popup.gif) binomischen Lehrsatzes aus:
[mm] $x^n*(1-x)^m [/mm] \ = \ [mm] x^n*\summe_{k=0}^{m}\vektor{m\\k}*(-1)^{k}*x^{k} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{m}\vektor{m\\k}*(-1)^{k}*x^{k+n}$
[/mm]
Nun integrieren und die Grenzen einsetzen ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Sa 09.06.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
[mm] x^n \summe_{n=0}^{m}\vektor{m\\n}*(-1)^{n}*x^{m+n} [/mm] = [mm] \bruch{x^{n+1}}{n+1} [/mm] * [mm] \bruch{ (-1)^{n+1}}{n+1} *\bruch{x^{m+1-n+1}}{{m+1}-{n+1}} [/mm] = 1 - 0 = 1
Für x= 0 eingesetzt, kommt immer Null raus!
Für x =1 kann unterschiedliche Werte annehmen, aber denn höchsten Wert der erreicht werden kann, ist 1. ?????
Grüße
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Hi,
als Ergebnis müsste ja
[mm] \summe_{k=0}^{m} \vektor{m \\ k} \bruch{(-1)^k}{k+n+1} [/mm] herauskommen.
Laut Maple gilt:
[mm] \summe_{k=0}^{m}\vektor{m \\ k}\bruch{(-1)^k}{k+n+1}=\bruch{1}{(n+1)*\vektor{m+n+1 \\ m}}.
[/mm]
Mit Induktion kann man das vermutlich beweisen, momentan weiß ich jedoch auch noch nicht wie ich direkt von der Summe auf dieses Ergebnis kommen könnte.
Wenn das Ergebnis genügt, dann hast du es jetzt zumindest mal vorliegen.
Grüße,
BertanARG
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