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| Aufgabe | Hi,
ich soll [mm] \integral_{0}^{4}( \bruch{1}{4}x^{2}+1)^\bruch{1}{2} [/mm] dx integrieren. Wenn die Funktionsgleichung linear wäre, könnte man ja einfach die Klammer integrieren ... oder wenn der Exponent oben nicht 0,5 wäre sondern 2 könnte man die Klammer auflösen... Aber so komme ich nicht weiter. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Schlumpf004,
> Hi,
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> ich soll [mm]\integral_{0}^{4}( \bruch{1}{4}x^{2}+1)^\bruch{1}{2}[/mm]
> dx integrieren. Wenn die Funktionsgleichung linear wäre,
> könnte man ja einfach die Klammer integrieren ... oder
> wenn der Exponent oben nicht 0,5 wäre sondern 2 könnte
> man die Klammer auflösen... Aber so komme ich nicht
> weiter.
Probier es mit der Substitution [mm]x=2*\sinh\left(t\right)[/mm].
Dann ist [mm]dx=2*\cosh\left(t\right) \ dt[/mm].
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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Das hat mir jemand auch gestern gesagt, nur ich verstehe nicht was heisst x= 2*cos(t)
Muss ich dann für x dann es einsetzen? Also 1/4*2cos(t)? Oder wie, ich lerne gerade alles wieder neu daher habe ich vieles vergessen...
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Ich habe es jetzt so verstanden...
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{4}x^{2}+1)^\bruch{1}{2} dx}
[/mm]
x= 2*sin(t)
[mm] \bruch{dz}{dx}= [/mm] 2*cos (t)
Somit: [mm] \integral_{0}^{4}{\bruch{1}{4}*2*sin(t)+1 dx}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{4}\bruch{1}{4}*z^{2}+1*\bruch{dz}{2*cos(t)} [/mm] und dann 1 kürzen weil [mm] cosh^2(t)= [/mm] 1 ist ?
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Ich habe den Exponenten vergessen...
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Hallo Schlumpf004,
> Ich habe es jetzt so verstanden...
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{4}x^{2}+1)^\bruch{1}{2} dx}[/mm]
>
> x= 2*sin(t)
> [mm]\bruch{dz}{dx}=[/mm] 2*cos (t)
>
> Somit: [mm]\integral_{0}^{4}{\bruch{1}{4}*2*sin(t)+1 dx}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{4}\bruch{1}{4}*z^{2}+1*\bruch{dz}{2*cos(t)}[/mm]
> und dann 1 kürzen weil [mm]cosh^2(t)=[/mm] 1 ist ?
>
Das ist leider nicht ganz richtig.
Es ist [mm]x=2*\sinh\left(t\right), \ dx = 2*cosh\left(t\right) \ dt[/mm]
Mit der Substitution sind auch die Integralgrenzen zu substituieren.
Damit ist:
[mm]\integral_{a}^{b}{\left(\bruch{1}{4}x^{2}+1\right)^\bruch{1}{2} dx}=\integral_{\tilde{a}}^{\tilde{b}}{\left(\bruch{1}{4}\left(2*\sinh\left(t\right)\right)^{2}+1\right)^\bruch{1}{2} \ 2*cosh\left(t\right) \ dt}[/mm]
Für die neuen Integralgrenzne gilt dann:
[mm]a=2*\sinh\left(\tilde{a}\right)[/mm]
[mm]b=2*\sinh\left(\tilde{b}\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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Sieht jetzt richtig kompliziert aus... wie soll man jetzt das integrieren? :/
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Und warum haben sich jetzt denn die integralgrenzen geändert
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Hallo Schlumpf004,
> Und warum haben sich jetzt denn die integralgrenzen
> geändert
Weil substituiert wurde.
Gruss
MathePower
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Hallo Schlumpf004,
> Sieht jetzt richtig kompliziert aus... wie soll man jetzt
> das integrieren? :/
Erstmal zusammenfassen / vereinfachen.
Nutze dabei dies:
[mm]\cosh^{2}\left(t\right)-\sinh^{2}\left(t\right)=1[/mm]
Gruss
MathePower
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Also ich habe es durch Whats App an 3 leute versendet und niemand wusste wie man das macht :/ könntest du vllt bisschen weiter machen sodass ich einmal sehe wie das geht...
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Hallo Schlumpf004,
> Also ich habe es durch Whats App an 3 leute versendet und
> niemand wusste wie man das macht :/ könntest du vllt
> bisschen weiter machen sodass ich einmal sehe wie das
> geht...
Wie was geht?
Den Integranden vereinfachen bzw. zusammenfassen?
[mm]\integral_{a}^{b}{\left(\bruch{1}{4}x^{2}+1\right)^\bruch{1}{2} dx}=\integral_{\tilde{a}}^{\tilde{b}}{\left(\bruch{1}{4}\left(2\cdot{}\sinh\left(t\right)\right)^{2}+1\right)^\bruch{1}{2} \ 2\cdot{}cosh\left(t\right) \ dt}=\integral_{\tilde{a}}^{\tilde{b}}{\left(\bruch{1}{4}*4\cdot{}\sinh^{2}\left(t\right)+1\right)^\bruch{1}{2} \ 2\cdot{}cosh\left(t\right) \ dt}[/mm]
[mm]=\integral_{\tilde{a}}^{\tilde{b}}{\left(\sinh^{2}\left(t\right)+1\right)^\bruch{1}{2} \ 2\cdot{}cosh\left(t\right) \ dt}\integral_{\tilde{a}}^{\tilde{b}}{\left(\cosh^{2}\left(t\right)\right)^\bruch{1}{2} \ 2\cdot{}cosh\left(t\right) \ dt}=\integral_{\tilde{a}}^{\tilde{b}}{\cosh\left(t\right) * 2*\cosh\left(t\right) \ dt}[/mm]
[mm]=2*\integral_{\tilde{a}}^{\tilde{b}}{\cosh^{2}\left(t\right)\ dt}[/mm]
Nun partielle Integration.
Gruss
MathePower
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Ich hab jetzt was raus...
2* [mm] \integral_{a}^{b}{ cosh^2(x) dx} [/mm] = [mm] 2*(\bruch{1}{2}cosh(x)*sinh(x)+\bruch{1}{2}x)
[/mm]
Ist das richtig und wie komme ich jetzt auf die neuen Integralgrenzen 2*sinh(a) hast du ja geschrieben wenn ich da jetzt 2*sinh(4) einsetze geht das ja nicht...
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> Ich hab jetzt was raus...
>
> 2* [mm]\integral_{a}^{b}{ cosh^2(x) dx}[/mm] =
> [mm]2*(\bruch{1}{2}cosh(x)*sinh(x)+\bruch{1}{2}x)[/mm]
Hallo,
richtig wäre
2* [mm]\integral_{\tilde{a}}^{\tilde{b}}{ cosh^2(x) dx}[/mm] =
[ [mm]2*(\bruch{1}{2}cosh(x)*sinh(x)+\bruch{1}{2}x)[/mm][mm] ]_{\tilde{a}}^{\tilde{b}}
[/mm]
>
> Ist das richtig und wie komme ich jetzt auf die neuen
> Integralgrenzen
> 2*sinh(a) hast du ja geschrieben
Nein, das hat MathePower nicht geschrieben.
Er schrieb:
$ [mm] a=2\cdot{}\sinh\left(\tilde{a}\right) [/mm] $
$ [mm] b=2\cdot{}\sinh\left(\tilde{b}\right) [/mm] $.
Dabei sind a und b die Grenzen des ursprünglichen Integrals,
also
$ [mm] 0=2\cdot{}\sinh\left(\tilde{a}\right) [/mm] $ ==> [mm] \tilde{a}=arsinh(0)=0
[/mm]
$ [mm] 4=2\cdot{}\sinh\left(\tilde{b}\right) [/mm] $ ==> [mm] \tilde{b}=arsinh(2).
[/mm]
Beim Einsetzen ist dann vielleicht noch nützlich:
[mm] cosh(arsinh(x))=\wurzel{x^2+1}
[/mm]
[mm] arsinh(x)=ln(x+\wurzel{x^2+1})
[/mm]
LG Angela
> wenn ich
> da jetzt 2*sinh(4) einsetze geht das ja nicht...
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Also wenn ich die wurzelfunktion da so eingebe kommt bei mir 1 und 2,09 raus also die neuen integralgrenzen. Stimmt das? Weil sie haben da 0 raus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Mi 14.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Also wenn ich die wurzelfunktion da so eingebe kommt bei
> mir 1 und 2,09 raus also die neuen integralgrenzen. Stimmt
> das? Weil sie haben da 0 raus.
????
Angela hat geschrieben:
$ [mm] \tilde{a}=arsinh(0) [/mm] $
$ [mm] \tilde{b}=arsinh(2). [/mm] $
Mit
$ [mm] arsinh(x)=ln(x+\wurzel{x^2+1}) [/mm] $
folgt:
[mm] \tilde{a}=0
[/mm]
und
[mm] \tilde{b}=ln(2+\wurzel{5}).
[/mm]
ganz ohne TR ! Lass die blöden Dezimalzahlen.
FRED
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Meine integralgrenzen waren aber nicht 0 und 2 sondern 0 und 4
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Hallo Schlumpf004,
> Das hat mir jemand auch gestern gesagt, nur ich verstehe
> nicht was heisst x= 2*cos(t)
>
Die Substitution lautet [mm]x=2*\sinh\left(t\right)[/mm]
und bedeutet: Ersetze x durch [mm]2*\sinh\left(t\right)[/mm]
> Muss ich dann für x dann es einsetzen? Also 1/4*2cos(t)?
> Oder wie, ich lerne gerade alles wieder neu daher habe ich
> vieles vergessen...
Weiter ist [mm]dx=2*\cosh\left(t\right) \ dt[/mm] und bedeutet:
Ersetze das Differential dx durch das Differential [mm]2*\cosh\left(t\right) \ dt[/mm].
Damit wird der Integrand einfacher.
Gruss
MathePower
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