Forum "Integrieren und Differenzieren" - Int 1/wurzel(1-x^2-y^2) - ev.vorhilfe.de

- Förderverein -

Der Förderverein. Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
	Hallo Gast! [ einloggen \| registrieren ]
	Startseite · Mitglieder · Impressum

Forenbaum

VH e.V.

Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation

Startseite...
Suchen
Impressum

Das Projekt

Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.

Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.

Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.

Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".

Partnerseiten

Weitere Fächer:

Vorhilfe.de

FunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme

Forum "Integrieren und Differenzieren" - Int 1/wurzel(1-x^2-y^2)

Int 1/wurzel(1-x^2-y^2) < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe

Ansicht:

[ geschachtelt ]

Forum "Integrieren und Differenzieren" |

Alle Foren |

Forenbaum | Materialien

Int 1/wurzel(1-x^2-y^2): Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	17:10 Do 20.03.2008
Autor:	iMeN

Aufgabe

 Berechnen Sie das Integral 

[mm] \integral_{D}^{}{\bruch{1}{\wurzel{1-(x^{2}+y^{2})}} d\vec{x}}
 [/mm]

D = [mm] \{(x,y) \in\IR^{2}  | |(x,y)|\le\bruch{1}{2} \}
 [/mm]

a) Auf dem Normalbereich D

b) durch eine geeignete Transformation in Polarkoordinaten

Hallo Helfer *wink*

bei b)
habe ich Integriert: r-Integration von 0 bis 1/2, [mm] \alpha [/mm] - Integration von 0 bis [mm] 2\pi [/mm]

und somit das Integral

[mm] \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\bruch{1}{2}}{\bruch{1}{\wurzel{1-r^{2}}} d{r}d{\alpha}} [/mm] = [mm] \bruch{\pi^{2}}{6} [/mm]

hoffentlich richtig gelöst.

bei a)

sind meine Grenzen: [mm] -\bruch{1}{2}\le [/mm] x [mm] \le\bruch{1}{2} [/mm] und [mm] -\bruch{1}{2}\le [/mm] y [mm] \le\wurzel{\bruch{1}{4}-x^{2}} [/mm]

und nun versuche ich vergebens das Integral

[mm] \integral_{-\bruch{1}{2}}^{\bruch{1}{2}}\integral_{-\bruch{1}{2}}^{\wurzel{\bruch{1}{4}-x^{2}}}{\bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}-y^{2}}} d{y}d{x}} [/mm]

zu lösen

Jetzt die Fragen:

- Sind meine Grenzen in beiden Teilaufgaben richtig?
- Wie ist der Ansatz um das Integral in Aufgabe a) zu lösen?

Bin für jeden Tipp dankbar :-)

MfG imen

Bezug

Int 1/wurzel(1-x^2-y^2): Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	18:26 Do 20.03.2008
Autor:	MathePower

Hallo iMeN,

> Berechnen Sie das Integral
>
> [mm]\integral_{D}^{}{\bruch{1}{\wurzel{1-(x^{2}+y^{2})}} d\vec{x}}[/mm]
>
> D = [mm]\{(x,y) \in\IR^{2} | |(x,y)|\le\bruch{1}{2} \}[/mm]
>
> a) Auf dem Normalbereich D
>
> b) durch eine geeignete Transformation in Polarkoordinaten
>  Hallo Helfer *wink*
>
>
> bei b)
> habe ich Integriert: r-Integration von 0 bis 1/2, [mm]\alpha[/mm] -
> Integration von 0 bis [mm]2\pi[/mm]
>
> und somit das Integral
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\bruch{1}{2}}{\bruch{1}{\wurzel{1-r^{2}}} d{r}d{\alpha}}[/mm]
> = [mm]\bruch{\pi^{2}}{6}[/mm]
>
> hoffentlich richtig gelöst.
>

Leider nicht.

Wie ich sehe, ist die Transformation

[mm] x=r*\cos\left(\alpha\right)[/mm]
[mm] y=r*\sin\left(\alpha\right)[/mm]

Hier muss noch die

Funktionaldeterminante berücksichtigt werden.

Die Funktionaldeterminante ist die Determinante der

Jacobi-Matrix

Diese ergibt sich hier zu:

[mm]\vmat{x_{r} & x_{\alpha }\\ y_{r} & y_{\alpha}}=\vmat{\cos\left(\alpha\right) & -r*\sin\left(\alpha\right) \\ \sin\left(\alpha\right) & r*\cos\left(\alpha\right)} = r[/mm]

Damit ergibt sich folgendes Integral:

[mm]\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\bruch{1}{2}}{\bruch{r}{\wurzel{1-r^{2}}} \ d{r} \ d{\alpha}}[/mm]

>
> sind meine Grenzen: [mm]-\bruch{1}{2}\le[/mm] x [mm]\le\bruch{1}{2}[/mm] und
> [mm]-\bruch{1}{2}\le[/mm] y [mm]\le\wurzel{\bruch{1}{4}-x^{2}}[/mm]

Richtig heisst es: [mm]-\red{\wurzel{\bruch{1}{4}-x^{2}}}\le y \le\wurzel{\bruch{1}{4}-x^{2}}[/mm]
>
> und nun versuche ich vergebens das Integral
>
> [mm]\integral_{-\bruch{1}{2}}^{\bruch{1}{2}}\integral_{-\bruch{1}{2}}^{\wurzel{\bruch{1}{4}-x^{2}}}{\bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}-y^{2}}} d{y}d{x}}[/mm]
>
> zu lösen
>
>
> Jetzt die Fragen:
>
> - Sind meine Grenzen in beiden Teilaufgaben richtig?

Die Grenzen zu Teilaufgabe b) stimmen.

> - Wie ist der Ansatz um das Integral in Aufgabe a) zu
> lösen?

Hier hilft auch nur eine geeignete Transformation.

>
> Bin für jeden Tipp dankbar :-)

>
> MfG imen

Gruß
MathePower