Injektivität zeigen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:55 So 26.03.2006 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | | Sei [mm] f:X\toY [/mm] eine Abbilduing zwischen nicht leeren Menge X und Y. Beweisen Sie: f ist genau dann inkjelktiv, wenn für alle Teilmengen [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 \subset [/mm] X gilt: [mm] f(A_1\cap A_2)=f(A_1) \cap f(A_2) [/mm] |
(frage zuvor nicht gestellt)
Hey leute, das ist wieder einer dieser Aufgaben wo ich überhaupt keine idee habe, wie ich dsa machen soll. Injektivität zeige ich am liebsten über die def. aber ich hab ka wie ich das hier machen soll. Kann mir einer bitte bitte weiterhelfen??
Danke vielmals im voraus. Gruß Ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 So 26.03.2006 | | Autor: | felixf |
> Sei [mm]f:X\toY[/mm] eine Abbilduing zwischen nicht leeren Menge X
> und Y. Beweisen Sie: f ist genau dann inkjelktiv, wenn für
> alle Teilmengen [mm]A_1[/mm] und [mm]A_2 \subset[/mm] X gilt: [mm]f(A_1\cap A_2)=f(A_1) \cap f(A_2)[/mm]
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> (frage zuvor nicht gestellt)
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> Hey leute, das ist wieder einer dieser Aufgaben wo ich
> überhaupt keine idee habe, wie ich dsa machen soll.
> Injektivität zeige ich am liebsten über die def. aber ich
> hab ka wie ich das hier machen soll. Kann mir einer bitte
> bitte weiterhelfen??
Die Richtung ``$f : X [mm] \to [/mm] Y$ injektiv [mm] $\Rightarrow [/mm] f(A [mm] \cap [/mm] B) = f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)$ fuer alle $A, B [mm] \subseteq [/mm] X$'' ist einfach, das solltest du selber hinbekommen. Nimm dir zwei Mengen $A, B [mm] \subseteq [/mm] X$ und rechne die Behauptung nach.
Fuer die andere Richtung zeigst du am besten deren Kontraposition: ``$f : X [mm] \to [/mm] Y$ nicht injektiv [mm] $\Rightarrow \exists [/mm] A, B [mm] \subseteq [/mm] X : f(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \neq [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)$''. Nimm $A = [mm] \{ x \}$ [/mm] und $B = [mm] \{ y \}$ [/mm] mit $x [mm] \neq [/mm] y$ und ueberleg dir mal, wann die Bedingung $f(A [mm] \cap [/mm] B) = f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)$ schiefgeht.
LG Felix
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