Injektivität und Surjektivität < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:37 Mo 24.10.2011 | | Autor: | Pirarrrt |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die folgenden Funktionen injektiv oder surjektiv sind. (Beweise!)
a) f: [mm] \IZ \times \IZ \to \IZ, [/mm] f(n,m) = n-m
b) g: [mm] \IZ \times \IZ \to \IZ \times \IZ, [/mm] g(n,m) = (n+m, n-m)
c) h: [mm] \IZ \to \IZ \times \IZ, [/mm] h(n) = ((n+1)², n²+1). |
Moin Moin,
ich hoffe ihr könnt mir auf die Sprünge helfen, bzw. mich verbessern, sofern ich etwas falsch habe.
Mein eigentliches Problem besteht darin die Injektivität bei b) nachzuweisen, alles andere haben ich so weit geschnallt (denke ich ^^).
a)
Injektivität:
Behauptung: f ist nicht injektiv.
Beweis durch Gegenbeispiel:
Annahme: n,m,n',m' [mm] \in \IZ [/mm] mit n,m [mm] \not= [/mm] n',m' und f(n,m) = f(n',m').
Wir weisen nach, dass dies der Fall für n=1, m=1, n'=2 und m'=2 ist:
f(1,1) = f(2,2)
[mm] \gdw [/mm] 1-1 = 2-2
[mm] \gdw [/mm] 0 = 0
f ist also nicht injektiv. [mm] \Box
[/mm]
Surjektivität:
Wir weisen nach, dass f surjektiv ist.
Beweis: n,m [mm] \in \IZ [/mm] mit m=0.
Laut Definition von f gilt also:
f(n,0) = n
Daraus folgt, dass f surjektiv ist. [mm] \Box
[/mm]
b)
Ijektivität:
So hier bin ich an meine ersten Grenzen gestoßen. Ich habe überlegt und überlegt, und bin dann zu dem Entschluss gekommen, dass ich die Injektivität eigentlich durch eine vollständige Induktion nachweisen können müsste.
Allerdings fehlt mir hier der Ansatz wie ich den Beweis hierfür aufschreiben müsste.
Surjektivität:
Wir weisen nach, dass g nicht surjektiv ist.
Beweis: Es gibt kein n,m [mm] \in \IZ [/mm] für n=m und n [mm] \not= [/mm] 0 mit f(n,m)=(n,n).
Es gilt [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IZ: [/mm] n+n [mm] \not= [/mm] n-n.
Daraus folgt, dass g nicht surjektiv ist. [mm] \Box
[/mm]
c)
Injektivität:
Behauptung: h ist injektiv.
Beweis durch Widerspruch:
Annahme: h ist nicht injektiv.
Laut Definition folgt: n,m [mm] \in \IZ [/mm] mit n [mm] \not= [/mm] m und h(n)=h(m).
Nach Definition von h gilt also:
((n+1)²,n²+1) = ((m+1)²,m²+1)
Es gilt also:
I (n+1)² = (m+1)²
[mm] \gdw [/mm] n²+2n+1 = m²+2m+1
II n²+1 = m²+1
I-II: 2n = 2m |:2
[mm] \gdw [/mm] n = m
n = m steht im Widerspruch zu der Annahme, dass n [mm] \not= [/mm] m, somit ist h injektiv. [mm] \Box
[/mm]
Surjektivität:
Wir weisen nach, dass h nicht surjektiv ist.
Beweis: Es gibt kein n [mm] \in \IZ [/mm] mit h(n)=(*,2)
* bedeutet hier kann ein beliebiger Wert stehen, er ist für uns nicht von Relevanz.
Es gilt also:
n²+1 = 3 |-1
[mm] \gdw [/mm] n² = 2 [mm] |\wurzel{}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] n = [mm] \wurzel{2} \notin \IZ
[/mm]
Daraus folgt, dass h nicht surjektiv ist. [mm] \Box
[/mm]
Ich bin über jede Hilfe dankbar.
MfG
Der Pirarrrt
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
die Aufgaben a) und c) hast du meiner Ansicht nach richtig gelöst.
Deine Frage gilt ja auch der Teilaufgabe b). Mein Tipp hier zum Nachweis der Injektivität wäre ja ein ganz einfaches LGS...
Dein Resultat zur Surjektivität bei b) ist ebenfalls richtig, wennich auch deine Vorgehensweise nicht nachvollziehen kann. Hier würde ich einfach so argumentieren: da [mm] m,n\in\IZ [/mm] können die Zahlenpaare (n+m;n-m) keine ungeraden Differenzen aufweisen, daraus folgt die Behauptung bereits.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:35 Di 25.10.2011 | | Autor: | Pirarrrt |
> Hallo,
Moin
>
> die Aufgaben a) und c) hast du meiner Ansicht nach richtig
> gelöst.
Danke erstmal fürs Korrekturlesen.
>
> Deine Frage gilt ja auch der Teilaufgabe b). Mein Tipp hier
> zum Nachweis der Injektivität wäre ja ein ganz einfaches
> LGS...
>
Ich habe mich einmal dran versucht:
Behauptung: g ist injektiv.
Beweis durch Widerspruch:
Annahme: g ist nicht injektiv.
Laut Definition folgt: n,m,n',m' [mm] \in \IZ [/mm] mit n,m [mm] \not= [/mm] n',m' und g(n,m) = g(n',m').
Nach Definition von g gilt also:
(n+m,n-m) = (n'+m',n'-m')
Es gilt also:
I n+m = n'+m'
II n-m = n'-m'
I+II: 2n = 2n' |:2
[mm] \gdw [/mm] n = n'
I-II: 2m = 2m' |:2
[mm] \gdw [/mm] m = m'
Daraus folgt, dass g(n,m) = g(n',m') wenn n,m = n',m'.
Dies steht im Widerspruch zu der Annahme, dass n,m [mm] \not= [/mm] n',m', somit ist g injektiv.
Allerdings sieht diese "Lösung" in meinen Augen falsch aus ^^.
> Dein Resultat zur Surjektivität bei b) ist ebenfalls
> richtig, wennich auch deine Vorgehensweise nicht
> nachvollziehen kann. Hier würde ich einfach so
> argumentieren: da [mm]m,n\in\IZ[/mm] können die Zahlenpaare
> (n+m;n-m) keine ungeraden Differenzen aufweisen, daraus
> folgt die Behauptung bereits.
>
Jetzt wo du es sagst sehe ich es auch.
Würde mich jedoch freuen, wenn jemand sich die Lösung nochmal angucken könnte und mir mitteilen könnte, ob dies eine venünftige Lösung ist.
Nicht dass ich eine richtige Lösung durch einen falschen Beweis habe.
> Gruß, Diophant
Nochmals vielen Dank.
MfG
Der Pirarrrt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:40 Di 25.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo,
>
> Moin
>
> >
> > die Aufgaben a) und c) hast du meiner Ansicht nach richtig
> > gelöst.
>
> Danke erstmal fürs Korrekturlesen.
>
> >
> > Deine Frage gilt ja auch der Teilaufgabe b). Mein Tipp hier
> > zum Nachweis der Injektivität wäre ja ein ganz einfaches
> > LGS...
> >
>
> Ich habe mich einmal dran versucht:
>
> Behauptung: g ist injektiv.
>
> Beweis durch Widerspruch:
>
> Annahme: g ist nicht injektiv.
>
> Laut Definition folgt: n,m,n',m' [mm]\in \IZ[/mm] mit n,m [mm]\not=[/mm]
> n',m' und g(n,m) = g(n',m').
> Nach Definition von g gilt also:
>
> (n+m,n-m) = (n'+m',n'-m')
>
> Es gilt also:
>
> I n+m = n'+m'
> II n-m = n'-m'
>
> I+II: 2n = 2n' |:2
> [mm]\gdw[/mm] n = n'
>
> I-II: 2m = 2m' |:2
> [mm]\gdw[/mm] m = m'
>
> Daraus folgt, dass g(n,m) = g(n',m') wenn n,m = n',m'.
> Dies steht im Widerspruch zu der Annahme, dass n,m [mm]\not=[/mm]
> n',m', somit ist g injektiv.
>
> Allerdings sieht diese "Lösung" in meinen Augen falsch aus
Wieso das denn ? Dein Nachweis der Injektivität ist korrekt
Allerdings solltest Du die Paarschreibweise bemühen, also (m,n) statt m,n
FRED
> ^^.
>
> > Dein Resultat zur Surjektivität bei b) ist ebenfalls
> > richtig, wennich auch deine Vorgehensweise nicht
> > nachvollziehen kann. Hier würde ich einfach so
> > argumentieren: da [mm]m,n\in\IZ[/mm] können die Zahlenpaare
> > (n+m;n-m) keine ungeraden Differenzen aufweisen, daraus
> > folgt die Behauptung bereits.
> >
>
> Jetzt wo du es sagst sehe ich es auch.
> Würde mich jedoch freuen, wenn jemand sich die Lösung
> nochmal angucken könnte und mir mitteilen könnte, ob dies
> eine venünftige Lösung ist.
> Nicht dass ich eine richtige Lösung durch einen falschen
> Beweis habe.
>
> > Gruß, Diophant
>
> Nochmals vielen Dank.
>
> MfG
> Der Pirarrrt
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:50 Di 25.10.2011 | | Autor: | Pirarrrt |
Behauptung: g ist injektiv.
Beweis durch Widerspruch:
Annahme: g ist nicht injektiv.
Laut Definition folgt: [mm]n,m,n',m' \in \IZ[/mm] mit [mm](n,m) \not= (n',m')[/mm] und g(n,m) = g(n',m').
Nach Definition von g gilt also:
(n+m,n-m) = (n'+m',n'-m')
Es gilt also:
I n+m = n'+m'
II n-m = n'-m'
I+II: 2n = 2n' |:2
[mm]\gdw[/mm] n = n'
I-II: 2m = 2m' |:2
[mm]\gdw[/mm] m = m'
Daraus folgt, dass g(n,m) = g(n',m') wenn [mm](n,m) = (n',m')[/mm].
Dies steht im Widerspruch zu der Annahme, dass [mm](n,m) \not= (n',m')[/mm], somit ist g injektiv.
Allerdings sieht diese "Lösung" in meinen Augen falsch aus
> Wieso das denn ? Dein Nachweis der Injektivität ist
> korrekt
Ist es richtig dass ich es sowohl nach [mm]n[/mm], als auch nach [mm]m[/mm] aufgelöst habe?
Oder reicht es lediglich nach einer Variable aufzulösen, sodass ich bereits nach dem Ergebnis [mm]n = n'[/mm] den Beweis habe, dass g injektiv sein muss?
>
> Allerdings solltest Du die Paarschreibweise bemühen, also
> (m,n) statt m,n
Gut ich bin nochmal schnell drüber gegangen.
>
> FRED
Ich danke dir für deine super schnelle Antwort.
MfG
Der Pirarrt
|
|
|
|
