Injektiv, surjektiv und bijekt < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:23 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Elfe |
| Aufgabe | Es sei X eine nichtleere Menge, und f,g : X -> X seien Abbildungen mit g [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_{x}. [/mm] Zeigen Sie:
a) f ist injektiv und g ist surjektiv.
b) Ist X endlich, so sind f und g bijektiv.
c) Finden Sie Abbildungen f, g : [mm] \IN [/mm] -> [mm] \In [/mm] mit folgenden Eigenschaften: f ist nicht surjektiv, g ist nicht injektiv und g [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_{\IN}. [/mm] |
Hallo,
also ich hätte ein paar Fragen zu der Aufgabe, bzw. benötige vielleicht auch ein paar Ansätze.
a) surjektiv bedeutet ja, dass es zu jedem y aus Y mindestens ein x aus X gibt.
Und injektiv, dass es zu jedem y aus Y höchstens ein x aus X gibt.
Jetzt soll ich ja zeigen, dass f injektiv und g surjektiv ist. Also erstmal sind das doch beides die gleichen Abbildungen, oder? Oder ist g gemeint wie die Abbildung [mm] f^{-1} [/mm] ? Wenn dann gilt, dass g [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_{\IN} [/mm] ist, dann ist das doch eine bijektive Abbildung und damit automatisch f injektiv und g surjektiv.
b) Ich hab aus der Vorlesung die Definition
"Eine Menge M heißt endlich, wenn es eine natürliche Zahl n gibt und eine Bijektion f: {1,2,...,n} -> M."
Hier wäre dann doch das M durch das X ersetzt, oder? Aber wie zeige ich nun, dass die beiden Funktionen bijektiv sind? Ich mein, es steht in der Definition, aber das kanns ja nicht sein.
c) Da überlege ich mal, wenn ich tatsächlich durch a und b durchgestiegen sein sollte 
lg Elfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:49 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Blech |
> a) surjektiv bedeutet ja, dass es zu jedem y aus Y
> mindestens ein x aus X gibt.
> Und injektiv, dass es zu jedem y aus Y höchstens ein x aus
> X gibt.
>
> Jetzt soll ich ja zeigen, dass f injektiv und g surjektiv
> ist. Also erstmal sind das doch beides die gleichen
> Abbildungen, oder?
Nö.
>Oder ist g gemeint wie die Abbildung
> [mm]f^{-1}[/mm] ?
Muß es nicht sein. In c) sollst Du zwei Abbildungen finden, für die das nicht gilt.
> Wenn dann gilt, dass g [mm]\circ[/mm] f = [mm]id_{\IN}[/mm] ist,
> dann ist das doch eine bijektive Abbildung und damit
> automatisch f injektiv und g surjektiv.
Das sollst Du hier beweisen, allerdings nicht nur für [mm] $\IN$.
[/mm]
Am einfachsten geht's denk ich mit Widerspruch:
Angenommen g wäre nicht surjektiv, warum kann dann [mm] $g\circ [/mm] f$ nicht die Identität sein?
Ebenso für f nicht injektiv.
> Hier wäre dann doch das M durch das X ersetzt, oder?
Ja.
> Aber
> wie zeige ich nun, dass die beiden Funktionen bijektiv
> sind?
Du hast schon bewiesen, daß g surjektiv und f injektiv. Also mußt Du jetzt zeigen, daß für endliches X f auch surjektiv sein muß und g auch injektiv. Wiederum bietet sich denk ich ein Widerspruchsbeweis an.
> c) Da überlege ich mal, wenn ich tatsächlich durch a und b
> durchgestiegen sein sollte
Wenn Du Dir klargemacht hast, warum b) speziell für endliche Mengen gelten muß, dann folgt es daraus recht schnell.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:37 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Cyraxx |
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Cyraxx |
| Aufgabe | | selbe aufgabenstellung wie oben |
hi zusammen
ich hab im mom die selbe aufgabe zu lösen und ich hab den teil a) mal so probiert:
1) zz g ist surj
anngenommen g ist nicht surj
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] X [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X s.d. g(x) [mm] \not= [/mm] y
g [mm] \circ [/mm] f = g(f(x))=id=x
aber g nicht surj
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] x0 [mm] \in [/mm] X s.d. g(f(x0)) [mm] \not= [/mm] x0
wiederspr. zu g [mm] \circ [/mm] f=id
[mm] \Rightarrow [/mm] g surj.
2) zz f ist inj.
ann.: f nicht inj.
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] x,y [mm] \in [/mm] X: f(x) = f(y) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \not= [/mm] y
g [mm] \circ [/mm] f = g(f(x))=id=x
aber f nicht inj.
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] x0,y0 [mm] \in [/mm] X : g(f(x0) = g(f(y0))=x0=y0
aber x0 [mm] \not= [/mm] y0
wiederspruch! [mm] \Rightarrow [/mm] f injektiv
hoffe dass das wenigstens in ansätzen richtig ist. an der b) c) bin ich noch dran ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:52 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Blech |
> [mm] $\Rightarrow \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] X\ [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X\ s.d.\ g(x) [mm] \not= [/mm] y$
Edit: Das ist auch nicht 100%ig.
"Es gibt y Element X für alle x Element X, so daß g(x) ungleich y", könnte man auch so auffassen, daß man für jedes x ein y finden kann, so daß g(x) ungleich y.
Das ist natürlich eine triviale Aussage, aber Du kannst das mögliche Mißverständnis beseitigen, indem Du das s.d. vorziehst:
[mm] $\exists\ [/mm] \ [mm] y\in [/mm] X\ :\ [mm] g(x)\neq [/mm] y,\ \ [mm] \forall x\in [/mm] X$
"Es gibt y in X, mit g(x) ungleich y für alle x in X"
> 2) zz f ist inj.
>
> ann.: f nicht inj.
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] x,y [mm]\in[/mm] X: f(x) = f(y) [mm]\Rightarrow[/mm] x
> [mm]\not=[/mm] y
Kleinigkeit:
[mm] $x\neq [/mm] y$ folgt hier nicht wirklich aus f(x)=f(y), es gibt viel mehr zwei verschiedene Elemente aus X die den gleichen Funktionswert haben:
[mm] $\exists\ x,y\in [/mm] X,\ [mm] x\neq [/mm] y:\ f(x)=f(y)$
D.h. [mm] $x\neq [/mm] y$ ist eine Bedingung, die wir direkt an x und y stellen.
>
> g [mm]\circ[/mm] f = g(f(x))=id=x
>
> aber f nicht inj.
>
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] x0,y0 [mm]\in[/mm] X : g(f(x0) = g(f(y0))=x0=y0
> aber x0 [mm]\not=[/mm] y0
ebenso solltest Du hier das [mm] $x_0\neq y_0$ [/mm] direkt als Bedingung an die beiden noch vor dem Doppelpunkt dazuklatschen.
Aber es ist kein wirkliches Problem.
> wiederspruch! [mm]\Rightarrow[/mm] f injektiv
Wiedersprüche sind was für Widerkäuer =P
> hoffe dass das wenigstens in ansätzen richtig ist. an der
> b) c) bin ich noch dran ;)
Sind beide richtig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Cyraxx |
soooo erstmal danke für deine antwort :)
hab mich dann mal an b) rangemacht:
zz X ist endlich [mm] \Rightarrow [/mm] f,g - bijektiv
f ist inj.
g ist surj.
1) zz f ist surj.:
ann nicht
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] X [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X s.d. f(x) [mm] \not= [/mm] y
[mm] \Rightarrow [/mm] g(f(x)) [mm] \not= [/mm] g(y)
mit X ist endliche Menge folgt:
g ist nicht surjektiv
[mm] \Rightarrow [/mm] widerspruch ;)
2) zz g ist injektiv
Ann: g nicht inj.
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] x0,y0 [mm] \in [/mm] X x0 [mm] \not= [/mm] y0 : g(x0)=g(y0)
f ist surj.
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] x0 mit f(x0)=x
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] y0 mit f(y0)=y
[mm] \Rightarrow [/mm] g(f(x0))=g(x)=x0
[mm] \Rightarrow [/mm] g(f(y0))=g(y)=y0
da g(x0)=g(y0)=x=y
[mm] \Rightarrow [/mm] widerspruch zu x0 [mm] \not= [/mm] y0
da bin ich ir aber noch unsicher, weil ich nicht genau weiß, wann ich das mit der endlichen menge mit in die aufgabe einfließen lassen soll
edit:
bei der aufgabe c) hab ich echt keinen plan. hab das ewig versucht, komm aber nicht auf die 2 abbildungen -.-
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:28 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Blech |
> b)
> soooo erstmal danke für deine antwort :)
>
> hab mich dann mal an b) rangemacht:
>
> zz X ist endlich [mm]\Rightarrow[/mm] f,g - bijektiv
>
> f ist inj.
> g ist surj.
>
> 1) zz f ist surj.:
>
> ann nicht
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] y [mm]\in[/mm] X [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] X s.d. f(x) [mm]\not=[/mm]
> y
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] g(f(x)) [mm]\not=[/mm] g(y)
>
> mit X ist endliche Menge folgt:
> g ist nicht surjektiv
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] widerspruch ;)
Das ist etwas schwammig. Der eigentliche Beweisschritt ist in "mit X ist endliche Menge" sehr gut versteckt =)
Ich würde es so machen:
zuerst Beweis, daß g injektiv:
Angenommen g wäre nicht injektiv
[mm] $\Rightarrow \exists\ x_0,x_1 \in [/mm] X,\ [mm] x_0\neq x_1:\ g(x_0)=g(x_1)$,
[/mm]
Jetzt schmeißen wir die Punkte mal aus Definitions- und Bildmenge.
D.h. wir haben [mm] $X\backslash\{x_0,x_1\}$, [/mm] bzw. [mm] $X\backslash\{g(x_0)\}$
[/mm]
Nun nehmen wir einen beliebigen neuen Punkt x aus der Definitionsmenge und g(x) aus der Bildmenge (falls das noch in der Bildmenge ist, g ist ja nach Annahme nicht injektiv) und schmeißen die raus.
Und wieder einen. Und wieder einen.
Nachdem X endlich ist, kommen wir irgendwann zum Ende und haben kein Element in der Definitionsmenge mehr. Aber es ist noch (mindestens) ein y in der Bildmenge, für das es kein [mm] $x\in [/mm] X$ gab, mit y=g(x). Widerspruch.
f surjektiv ist analog.
> edit:
> bei der aufgabe c) hab ich echt keinen plan. hab das ewig
> versucht, komm aber nicht auf die 2 abbildungen -.-
Betrachte mal f(x)=x+1, das ist nicht surjektiv. =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:42 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Cyraxx |
oke danke.
bin jetzt zu müde, um mir das noch anzugucken.
ich guck morgen mal.
also gute nacht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:50 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Cyraxx |
aber die umkehrabb von f(x)=x+1 ist doch g(x)=x-1.
damit ist g aber bijektiv und geht nach vorraussetzung nicht.
musste mir das irgendwie doch noch angucken^^
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> aber die umkehrabb von f(x)=x+1 ist doch g(x)=x-1.
Hallo,
dieses g paßt schon deshalb nicht zur Aufgabenstellung, weil g nicht nach [mm] \IN [/mm] abbildet. (Auch wenn es in Deiner Aufgabe nicht so dasteht, gehe ich davon aus, daß es so sein soll.) Aber auch, wenn man das akzeptiert, ist g nicht nicht injektiv, oder einfacher gesagt: g ist injektiv.
Wir suchen ja [mm] f.g:\IN \to \IN [/mm] mit f nicht surj. und g nicht inj.
Du könntest die Sache allerdings retten:
[mm] f,g:\IN \to \IN
[/mm]
f(x):= x+1 f.a. [mm] x\in \IN [/mm] (nicht surj.)
[mm] g(x):=\begin{cases} x-1, & \mbox{für } x>1 \mbox{} \\ 1, & \mbox{für } x=1 \mbox{ } \end{cases} [/mm] (nicht inj.)
Anderer Vorschlag:
f(x):=2x.
Nun finde da mal ein passendes g !
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:44 Di 30.10.2007 | | Autor: | Cyraxx |
mhhh angela... ich glaub dass dei g nicht funktioniert, da laut volesung
0 [mm] \in \IN [/mm] ist
[mm] \Rightarrow [/mm] g ist nicht surj.
dann ist auch g(f(0)) = 1 [mm] \not= [/mm] id
hab mich mal an deinem beispiel verausucht, aber besser als
[mm] g(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ x=0} \\ x/2, & \mbox{für } n \mbox{ x>0} \end{cases}
[/mm]
hab ichs auch nicht hingekriegt
edit: ja es heißt f,g: [mm] \IN \to \IN[/mm]
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> mhhh angela... ich glaub dass dei g nicht funktioniert, da
> laut volesung
> 0 [mm]\in \IN[/mm] ist
> [mm]\Rightarrow[/mm] g ist nicht surj.
Das ist kein echtes Problem, wir können unser g etwas tunen.
Nehmen wir also als [mm] g:\IN \to \IN [/mm]
$ [mm] g(x):=\begin{cases} x-1, & \mbox{für } x>0 \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } x=0 \mbox{ } \end{cases} [/mm] $ (nicht inj.) .
>
> hab mich mal an deinem beispiel verausucht, aber besser
> als
>
> [mm]g(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ x=0} \\ x/2, & \mbox{für } n \mbox{ x>0} \end{cases}[/mm]
>
> hab ichs auch nicht hingekriegt
>
> edit: ja es heißt f,g: [mm]\IN \to \IN[/mm]
Und genau hier liegt ein Problem Deines g. Das bildet ja nicht in die natürlichen Zahlen ab! g(5)= ???
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:30 Di 30.10.2007 | | Autor: | Cyraxx |
mhh stimmt danke für die antwort.
ich glaub ich habs:
[mm] g(x)=\begin{cases} X/2, & \mbox{für } \mbox{ x gerade} \\ x, & \mbox{für } \mbox{ x ungerade} \end{cases}
[/mm]
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> mhh stimmt danke für die antwort.
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> ich glaub ich habs:
>
> [mm]g(x)=\begin{cases} X/2, & \mbox{für } \mbox{ x gerade} \\ x, & \mbox{für } \mbox{ x ungerade} \end{cases}[/mm]
Genau, so klappt das.
Gruß v. Angela
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