Injektiv => surjektiv? < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:44 Mo 27.06.2011 | | Autor: | Braten |
Hallo,
wenn man einen Endomorphismus betrachtet, T:X->X, dann sind die Begriffe injektiv und surjektiv äquivalent.
Was passiert, wenn X nicht mehr endliche dimension hat. Kann man da ähnliche Aussagen treffen?
Z.B: T injektiv => T surjektiv? oder umgekehrt?
Ich habe es eine Zeitlang probiert zu beweisen, es aber nicht geschafft. Leider habe ich in Büchern auch nichts dazu gefunden.
Eventuell gibt Gegenbeispiele?
Vielen Dank
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Moin,
> wenn man einen Endomorphismus betrachtet, T:X->X, dann sind
> die Begriffe injektiv und surjektiv äquivalent.
> Was passiert, wenn X nicht mehr endliche dimension hat.
> Kann man da ähnliche Aussagen treffen?
Nein.
>
> Z.B: T injektiv => T surjektiv? oder umgekehrt?
>
> Ich habe es eine Zeitlang probiert zu beweisen, es aber
> nicht geschafft. Leider habe ich in Büchern auch nichts
> dazu gefunden.
> Eventuell gibt Gegenbeispiele?
Sei [mm] \omega [/mm] der Vektorraum aller Folgen in [mm] \IR.
[/mm]
Eine Basis dieses Raums sind die Folgen [mm] (e_i)_j:=\begin{cases} 1, & i=j\\0, & sonst \end{cases}.
[/mm]
[mm] \omega [/mm] ist also unendlich-dimensional.
Die Fortsetzung der linearen Abbildung [mm] f:\omega\to\omega [/mm] mit [mm] f(e_i):=e_{i+1} [/mm] für i=1,2,... ist offenbar injektiv, aber sie ist nicht surjektiv, denn [mm] e_1 [/mm] hat kein Urbild.
(Die Abbildung f bildet den i. Basisvektor auf den i+1. ab)
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:59 Mo 27.06.2011 | | Autor: | Braten |
Danke Sehr!!
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