Injekt. bei Gruppenhomomorph. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, hab eine Aufgabe, die ich schon fast gelöst habe, nur ein kleiner Teil fehlt mir noch.
Aufgabe: Zeige, dass die Abbildung f: [mm] \IZ \mapsto \IZ^{2x2} [/mm] mit
f (a) = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ a & 0 }
[/mm]
ein injektiver Gruppenhomomorphismus, aber kein Ringhomomorphismus ist.
Ich bekomme es locker hin zu zeigen, dass die Abbildung Gruppenhomomorphismus, aber kein Ringhomomorphismus ist, nur beim Zeigen der Injektivität hapert es ein wenig... Im Prinzip müsste ja nach meinem Verständnis [mm] \IZ^{2x2} [/mm] mehr Elemente haben als als [mm] \IZ, [/mm] damit höchtens ein Element abgebildet werden kann (Definition Injektivität)... Aber das bringt mich auch nicht weiter, da beide meiner Meinung nach gleich viele Elemente haben, da ja [mm] \IZ^{2x2} [/mm] nur unten Links mit einem Wert belegt ist und dafür ja auch jede Zahl aus [mm] \IZ [/mm] eingesetzt werden könnte.
Vielen Dank
mfg
Berndte
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Hallo Berndte,
Na, wenn du schon soviel hast, insbesonere dass das ein Gruppenhomomorphismus ist, dann kriegst du die Injektivität doch auch hin. *das mal denk*
Bestimme den Kern des (Gruppen-)Homomorphismus. Besteht er nur aus der 0, dann ist der Homomorphismus injektiv.
Liebe Grüsse,
Irrlicht
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Kann ich nun auch irgendwie zeigen, dass das Ganze nicht surjektiv ist?
Danke
mfg
Berndte
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Hab mir die Frage glaub ich jetzt selbst beantwortet. Da es ja in [mm] \IZ^{2x2} [/mm] Matrizen gibt, die nicht durch die Abbildung abgebildet werden können (wie z.B. [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }, [/mm] ist die Abblidung nicht surjektiv.
Danke trotzdem
mfg
Berndte
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