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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:14 Di 06.03.2012 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Es seien [mm] $(X,\mathcal{O}_1),(Y,\mathcal{O}_2),(Z,\mathcal{O}_3)$ [/mm] topologische Räume. Weiter seien [mm] $f\colon (X,\mathcal{O}_1)\to (Y,\mathcal{O}_2)$ [/mm] sowie [mm] $g\colon (Y,\mathcal{O}_2)\to (Z,\mathcal{O}_3)$ [/mm] stetige Abbildungen.
Zeigen Sie:
(a) Induziert [mm] $g\circ f\colon (X,\mathcal{O}_1)\to (Z,\mathcal{O}_3)$ [/mm] auf X die Initialtopologie, so induziert auch [mm] $f\colon (X,\mathcal{O}_1)\to (Y,\mathcal{O}_2)$ [/mm] die Initialtopologie. |
Hallo, liebes Forum!
Zunächst meint "die Abbildung ... induziert die Initialtopologie" hier doch, daß dies die Abbildung sein soll, die zum Beispiel bei der Produkttopologie die Projektionen sind?
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Sei [mm] $h\colon Q\to (X,\mathcal{O}_1)$, [/mm] Q bel. topologischer Raum, dann ist also [mm] $\mathcal{O}_1$ [/mm] die gröbste Topologie auf X bzgl. der [mm] $g\circ [/mm] f$ stetig ist und die Abbildung h ist genau dann stetig, wenn [mm] $g\circ f\circ [/mm] h$ stetig ist.
Angenommen, daß [mm] $f\colon (X,\tau)\to (Y,\mathcal{O}_2)$ [/mm] stetig ist. Dann ist [mm] $g\circ [/mm] f$ stetig (da g stetig nach Voraussetzung) und es wäre [mm] $g\circ f\colon (X,\tau)\to (Z,\mathcal{O}_3$, [/mm] da nun aber nach Voraussetzung [mm] $\mathcal{O}_3$ [/mm] die gröbste Topologie ist bzgl. derer [mm] $g\circ [/mm] f$ stetig ist, gilt [mm] $\mathcal{O}_3\subseteq \tau$.
[/mm]
Daraus folgt, daß [mm] $\mathcal{O}_3$ [/mm] die gröbste Topologie ist bzgl. derer die Abbildung f (nach Voraussetzung) stetig ist und daher induziert f die Initialtopologie.
(Ich habe hier bestimmt viel zu viel hingeschrieben, auch Dinge, die man nicht unbedingt braucht, aber lieber zu viel als zu wenig.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Do 08.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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