Inhomogene DGL 2. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:11 Fr 18.04.2008 | | Autor: | Jojo987 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Lösungen der Differtialgleichung
[mm] y''-4y'+4y=e^{-x} [/mm] (1)
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also gut ich komme ja schon sehr weit nur ALLE Lösungen zu bestimmen hab ich noch so meine Probleme. Kann mir da jemand weiter helfen.
Ich habe angefangen erst einmal die homogene Lösung anzuschreiben
[mm] \lambda^{2}-4\lambda+4=0
[/mm]
[mm] \lambda_{1,2}=2
[/mm]
=> homogene Lösung: [mm] y=c_{1}e^{2x}+c_{2}e^{2x}
[/mm]
dann mache ich die Varition der Konstanden:
[mm] y_{s}=c_{1}(x)e^{2x}+c_{2}(x)e^{2x}
[/mm]
[mm] y_{s}'=2c_{1}(x)e^{2x}+2c_{2}(x)e^{2x}+c_{1}(x)'e^{2x}+c_{2}(x)'e^{2x}
[/mm]
mit dem Trick: [mm] c_{1}(x)'y_{1}+c_{2}(x)y_{2}=0 [/mm] ergibt sich
[mm] y_{s}'=2c_{1}(x)e^{2x}+2c_{2}(x)e^{2x}
[/mm]
[mm] y_{s}''=2c_{1}(x)'e^{2x}+2c_{2}(x)'e^{2x}+4c_{1}(x)e^{2x}+4c_{2}(x)e^{2x}
[/mm]
Nun setze ich wieder in der Anfangsgleichung (1) ein:
[mm] 2c_{1}(x)'e^{2x}+2c_{2}(x)'e^{2x}+4c_{1}(x)e^{2x}+4c_{2}(x)e^{2x}-8c_{1}(x)e^{2x}-8c_{2}(x)e^{2x}+4c_{1}(x)e^{2x}+4c_{2}(x)e^{2x}=e^{-x}
[/mm]
nach den Konstanten ausgeklammert ergibt sich:
[mm] c_{1}(x)*0+c_{2}(x)*0+2c_{1}(x)'e^{2x}+2c_{2}(x)'e^{2x}=e^{-x}
[/mm]
also: [mm] 2c_{1}(x)'e^{2x}+2c_{2}(x)'e^{2x}=e^{-x}
[/mm]
so um das ganze jetzt auszurechenen hab ich mir Hilfe im Internet gesucht. Ich habe eine Variante mit der Wronski Matrix gefunden, aber ich kapier einfach nicht wie das geht. Gibt es vielleicht noch eine andere Möglichkeit diesen Schinken auszurechen? Aber das wichtigste stimmt das ganze überhaupt soweit ich jetzt bin?
Bitte helft mir bald ist Test und ich muss das können. Vielen dank schon einmal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:14 Fr 18.04.2008 | | Autor: | Jojo987 |
bei dem Trick ist natürlich auch [mm] c_{s}(x) [/mm] abegeleitet. Entschuldigung aber man verliert leicht den Überblick 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:15 Fr 18.04.2008 | | Autor: | Jojo987 |
ahhhhhh [mm] c_{2}(x) [/mm] mein ich
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:02 Fr 18.04.2008 | | Autor: | Jojo987 |
ja stimmt so gehts vielleicht einfacher.
Nur noch eine Frage: wieso fehlt da ein x bei der homogenen Gleichung. Ich dachte die Homogene Gleichung ist in diesem Fall:
[mm] y_{hom}=c_{1}e^{\lambda_{1}x}+c_{2}e^{\lambda_{2}x}
[/mm]
wo kommt dann das x her? Vielleicht hab ich auch einfach grundlegende Lücken bei der Differentialrechnung aber ich versteh es nicht.
kann mir noch jemand sagen wie man nun die DGL nun lösen kann. Gibt es sowas wie einen Leitfaden den ich nun in meiner Letzten Zeile anwenden kann?
Danke schon mal. Ohne euch wäre ich schon lange in der Bahnhofsmission gelandet 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:24 Fr 18.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo JoJo!
Du hast doch mit [mm] $\lambda_{1/2} [/mm] \ = \ 2$ eine doppelte Nullstelle der charakteristischen Gleichung. Damit musst Du für den Ansatz der Störfunktion auch noch ein zusätzliches $x_$ einbauen mit $s(x) \ = \ [mm] c_1*e^{2x}+c_2*\red{x}*e^{2x}$ [/mm] .
Bei Deinem Ansatz mit [mm] $c_1*e^{2x}+c_2*e^{2x}$ [/mm] könntest Du das ja zu einem Term [mm] $(c_1+c_2)*e^{2x} [/mm] \ = \ [mm] c*e^{2x}$ [/mm] zusammenfassen und hättest nur noch eine Integrationskonstante.
Gruß
Loddar
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