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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 So 13.11.2005 | | Autor: | stiefler |
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Hi,
folgendes problem:
Sei K angeordneter Körper. Bestimmen sie Infinum und Supremum der folgenden Mengen (sofern diese existieren!):
|x|/1+|x| : x [mm] \in \IQ
[/mm]
danke schon mal für eure Tipps
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Hi, stiefler,
zunächst mal:
Das Ding heißt InfiMum, nicht InfiNum - hat nämlich nix mit "inifit" oder Unendlich zu tun!
Also - zur Frage:
> Sei K angeordneter Körper. Bestimmen sie Infinum und
> Supremum der folgenden Mengen (sofern diese existieren!):
>
> |x|/1+|x| : x [mm]\in \IQ[/mm]
Ich denke mal, Du meinst: [mm] \bruch{|x|}{1+|x|}.
[/mm]
Das Infimum findet man relativ leicht, denn: für x=0 ist auch der Term selbst =0; und für x [mm] \not= [/mm] 0 ist der Term immer positiv.
Daher ist das Infimum =0.
Für das Supremum schreiben wir den Term betragstrichfrei:
[mm] \bruch{|x|}{1+|x|} [/mm] = [mm] \begin{cases} \bruch{x}{1+x}, & \mbox{für } x \ge 0 \\ \bruch{x}{x-1} , & \mbox{für } x < 0 \end{cases}
[/mm]
Dann berechnen wir die Grenzwerte für x [mm] \to +\infty [/mm] und x [mm] \to -\infty.
[/mm]
Ergebnis: Beide Male kommt 1 raus!
Nun muss man nur noch zeigen, dass der Term als solches immer < 1 ist; dann hat man das Supremum gefunden: Es ist +1.
mfG!
Zwerglein
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