Infimum, Supremum einer Menge < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei M:= [mm] \left{ \frac{1}{\left(-3 \right)^m}+\frac{n}{2n-1}:m\in\mathbb{N}_0,n\in\mathbb{N} \right}\subset\mathbb{R}.
[/mm]
Bestimmen Sie Supremum, Infimum, Maximum und Minimum von M, sofern diese existieren. |
Erst mal "hi", bin neu hier.
Ich möchte nicht den kompletten Lösungsvorgang, aber ne Idee, wie ich dort ansetzen muss, wäre schon schön :D.
Also klar ist mir, dass das Maximum bei 2 liegt (wenn ich m=0 und n=1 setze... bei größeren Werten werden jeweils die Nenner größer, somit die Brüche kleiner und die Summe auch kleiner). Dies ist dann ja bekanntlich auch das Supremum.
Das Infimum liegt bei [mm]\frac{1}{-3}+\frac{1}{2}[/mm], wenn ich für m=1 und n=unendlich einsetze. Ändere ich die Werte, wird der Summand größer...
Soweit eigentlich klar. Mein Problem ist nun das ich dies konkret beweisen muss und ich keine Idee habe, wie ich ansetzen soll. Wäre ein Intervall gegeben, wäre es kein Thema. Auch bei einer Variable würde es mir leicht fallen, da ich so die Monotomie bestimmen könnte und dann ein Intervall aufstellen würde.
Hoffe auf Eure Unterstützung.
Liebe Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
P.S. Konnte das richtige Forum nicht finden (denke Analysis?) Bitte verschieben.
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> Sei M:= [mm]\left{ \frac{1}{\left(-3 \right)^m}+\frac{n}{2n-1}:m\in\mathbb{N}_0,n\in\mathbb{N} \right}\subset\mathbb{R}.[/mm]
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> Bestimmen Sie Supremum, Infimum, Maximum und Minimum von M,
> sofern diese existieren.
> Erst mal "hi", bin neu hier.
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> Ich möchte nicht den kompletten Lösungsvorgang, aber ne
> Idee, wie ich dort ansetzen muss, wäre schon schön :D.
> Also klar ist mir, dass das Maximum bei 2 liegt (wenn ich
> m=0 und n=1 setze... bei größeren Werten werden jeweils
> die Nenner größer, somit die Brüche kleiner und die
> Summe auch kleiner). Dies ist dann ja bekanntlich auch das
> Supremum.
> Das Infimum liegt bei [mm]\frac{1}{-3}+\frac{1}{2}[/mm], wenn ich
> für m=1 und n=unendlich einsetze. Ändere ich die Werte,
> wird der Summand größer...
> Soweit eigentlich klar. Mein Problem ist nun das ich dies
> konkret beweisen muss und ich keine Idee habe, wie ich
> ansetzen soll. Wäre ein Intervall gegeben, wäre es kein
> Thema. Auch bei einer Variable würde es mir leicht fallen,
> da ich so die Monotomie bestimmen könnte und dann ein
> Intervall aufstellen würde.
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Du musst zum einen zeigen, dass es sich um eine untere und obere Schranke handelt, also der Ausdruck für beliebige m,n zwischen 1/6 und 2 liegt (die Begründung hast du ja schon).
Da 2 in M liegt, ist dann klar, dass es sich um das maximum und Supremem handelt.
Für das Infimum brauchst du eine Folge aus M, die gegen 1/6 konvergiert. Dazu hälst du m fest und läst n gegen unendlich gehen.
> Hoffe auf Eure Unterstützung.
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> Liebe Grüße
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> P.S. Konnte das richtige Forum nicht finden (denke
> Analysis?) Bitte verschieben.
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Das heißt, es gibt keinen ausdrücklichen Beweis um auf diese Zahlen zu kommen (außer der logischen Argumentation)?
Dann hätte ich ja gewissermaßen wieder mein "Intervall" und könnte nach dem mir bekannten Schema argumentieren...
Dann wäre meine Frage auch beantwortet. Lieben Dank Dir schon mal!
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Im ersten Schritt kann man schauen, wie die Menge aussieht und durch welche Werte sie begrenzt wird.
Der "Beweis" besteht darin, logisch zu begründen, dass die gefundenen Grenzen tatsächlich Infimum und Supremum sind.
Das Auffinden der Grenzen muss nicht Teil des Beweises sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:51 Do 27.10.2011 | | Autor: | Twister91 |
Ok,
Dann vielen Dank soweit.
Bis zu der nächsten Frage :D (die kommt bestimmt *gg*)
Liebe Grüße
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