Induktiver Limes von Gruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 So 13.03.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | | Man zeige: Jedes induktive System von Gruppen besitzt einen induktiven Limes. |
Hallo,
ich wollte Fragen, ob mein Ansatz korrekt ist und wie ich damit weiter komme.
Sei $(Gi, [mm] f_{ij})$ [/mm] ein induktives System von Gruppen, d.h. I ist partiell geordnet und gerichtet und für $i [mm] \leq [/mm] j$ existiert ein Gruppenhomomorphismus [mm] $f_{ij}: G_i \to G_j$, [/mm] wobei gilt: [mm] $f_{ii} [/mm] = [mm] id_{G_i}$ [/mm] und für $i [mm] \leq [/mm] j [mm] \leq [/mm] k: [mm] f_{ik} [/mm] = [mm] f_{ij} \circ f_{jk}$.
[/mm]
Meine Idee war nun zunächst das kartesische Produkt [mm] $\produkt_{i \in I} G_i$ [/mm] zu betrachten, dann existieren ja schonmal die natürlichen Inklusionsabbildungen [mm] $f_i: G_i \hookrightarrow \produkt_{i \in I} G_i$. [/mm] Nun muss ich den Zielraum noch so modifizieren, dass [mm] $f_i [/mm] = [mm] f_j \circ f_{ij}$ [/mm] gilt.
Ich führe also eine Äquivalenzklassenkonstruktion auf [mm] $\produkt_{i \in I} G_i$ [/mm] durch: x [mm] \sim [/mm] y [mm] :\gdw y_j [/mm] = [mm] f_{ij}(x_i)$
[/mm]
Nun existieren diese [mm] $f_{ij}$ [/mm] ja nur für $i [mm] \leq [/mm] j$. Macht das ein Problem bei der Konstruktion?
Ist die Idee überhaupt richtig?
Vielen Dank für eure Hilfe!
LG Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:11 So 13.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ich wollte Fragen, ob mein Ansatz korrekt ist und wie ich
> damit weiter komme.
> Sei [mm](Gi, f_{ij})[/mm] ein induktives System von Gruppen, d.h. I
> ist partiell geordnet und gerichtet und für [mm]i \leq j[/mm]
> existiert ein Gruppenhomomorphismus [mm]f_{ij}: G_i \to G_j[/mm],
> wobei gilt: [mm]f_{ii} = id_{G_i}[/mm] und für [mm]i \leq j \leq k: f_{ik} = f_{ij} \circ f_{jk}[/mm].
>
> Meine Idee war nun zunächst das kartesische Produkt
> [mm]\produkt_{i \in I} G_i[/mm] zu betrachten, dann existieren ja
> schonmal die natürlichen Inklusionsabbildungen [mm]f_i: G_i \hookrightarrow \produkt_{i \in I} G_i[/mm].
> Nun muss ich den Zielraum noch so modifizieren, dass [mm]f_i = f_j \circ f_{ij}[/mm]
> gilt.
> Ich führe also eine Äquivalenzklassenkonstruktion auf
> [mm]$\produkt_{i \in I} G_i$[/mm] durch: x [mm]\sim[/mm] y [mm]:\gdw y_j[/mm] =
> [mm]f_{ij}(x_i)$[/mm]
> Nun existieren diese [mm]f_{ij}[/mm] ja nur für [mm]i \leq j[/mm]. Macht
> das ein Problem bei der Konstruktion?
Naja, wenn schon solltest du definieren $x [mm] \sim [/mm] y [mm] :\Leftrightarrow \forall [/mm] i, j : (i [mm] \le [/mm] j [mm] \Rightarrow f_{ij}(x_i) [/mm] = [mm] x_j)$.
[/mm]
> Ist die Idee überhaupt richtig?
Ich denke sie funktioniert.
Bei gerichteten injektiven Systemen kann man auch wie folgt vorgehen:
* als Menge $X$ betrachtet man die disjunkte Vereinigung aller [mm] $G_i$;
[/mm]
* fuer $x [mm] \in G_i$ [/mm] und $y [mm] \in G_j$ [/mm] nimmt man ien $k$ mit $k [mm] \le [/mm] i$, $k [mm] \le [/mm] j$, und sagt $x [mm] \sim [/mm] y [mm] :\Leftrightarrow f_{ik}(x) [/mm] = [mm] f_{jk}(y)$.
[/mm]
Man muss zeigen, dass [mm] $\sim$ [/mm] wohldefiniert ist, und dann betrachtet man $G := [mm] X/_\sim$. [/mm] Verknuepfen tut man zwei Restklassen $[x], [y]$ mit $x [mm] \in G_i$, [/mm] $y [mm] \in G_j$ [/mm] indem man $k$ mit $k [mm] \le [/mm] i$, $k [mm] \le [/mm] j$ waehlt und [mm] $[x]_\sim \cdot [y]_\sim [/mm] := [mm] [f_{ik}(x) f_{jk}(y)]_\sim$ [/mm] setzt.
Falls das injektive System nicht direkt ist, kommt man mit deiner Methode vermutlich besser zum Ziel.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:40 Mo 14.03.2011 | | Autor: | PeterB |
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> > Ist die Idee überhaupt richtig?
>
> Ich denke sie funktioniert.
>
>
Ich muss leider widersprechen: Für den induktiven Limes braucht man einen Quotienten des kategoriellen Coproduktes (Etwa das freie Produkt der Gruppen) für den projektiven Limes nimmt man eine Teilmenge des Produktes.
Auch die Relation stimmt nicht: Falls wir für alle Paare von i,j [mm] $f_{ij}(x_i)=y_j$ [/mm] fordern, dann ist das nicht mal reflexiv und nur erfüllbar für x=y (wenn wir i=j betrachten). D.h. die erzeugte Äquivalenzrelation ist "Gleichheit". Falls wir nur für ein Paar i,j die Bedingung fordern, dann ist die Menge der Relationen zu groß: Sobald das Indexsystem mehr als zwei Elemente hat kann man sich leicht überlegen, dass alle Gruppenelemente identifiziert werden.
Die Konstruktion ohne den Umweg über die Kategorie der Mengen ist möglich braucht aber wohl das freie Produkt von Gruppen, und ist daher wohl schwieriger. (Die Relation ist wieder die Identifikation von Elementen die den Untergruppen die zu den [mm] G_i [/mm] gehören entsprechen.) Vielleicht kann man für gerichtete Systeme das freie Produkt durch die direkte Summe ersetzen.
Gruß
Peter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:16 Mo 14.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > Ist die Idee überhaupt richtig?
> >
> > Ich denke sie funktioniert.
>
> Ich muss leider widersprechen: Für den induktiven Limes
> braucht man einen Quotienten des kategoriellen Coproduktes
> (Etwa das freie Produkt der Gruppen)
Beim induktiven Limes von Gruppen, Ringen und Koerpern reicht auch das kategorielle Coprodukt in Set, also die disjunkte Vereinigung.
> für den projektiven
> Limes nimmt man eine Teilmenge des Produktes.
>
> Auch die Relation stimmt nicht: Falls wir für alle Paare
> von i,j [mm]f_{ij}(x_i)=y_j[/mm] fordern, dann ist das nicht mal
> reflexiv und nur erfüllbar für x=y (wenn wir i=j
> betrachten). D.h. die erzeugte Äquivalenzrelation ist
> "Gleichheit". Falls wir nur für ein Paar i,j die Bedingung
> fordern, dann ist die Menge der Relationen zu groß: Sobald
> das Indexsystem mehr als zwei Elemente hat kann man sich
> leicht überlegen, dass alle Gruppenelemente identifiziert
> werden.
Stimmt, da hast du Recht. Es war gestern abend wohl zu spaet fuer mich... :)
> Die Konstruktion ohne den Umweg über die Kategorie der
> Mengen ist möglich
So sah der erste Beweis von der Aussage aus den ich gesehen hab. Funktioniert recht einfach.
(Zumindest falls es ein gerichtetes System ist.)
> braucht aber wohl das freie Produkt von Gruppen,
Wieso das? Das kam in dem Beweis den ich kenne nicht vor.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:28 Mo 14.03.2011 | | Autor: | PeterB |
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> > Die Konstruktion ohne den Umweg über die Kategorie der
> > Mengen ist möglich
>
> So sah der erste Beweis von der Aussage aus den ich gesehen
> hab. Funktioniert recht einfach.
> (Zumindest falls es ein gerichtetes System ist.)
>
> > braucht aber wohl das freie Produkt von Gruppen,
>
> Wieso das? Das kam in dem Beweis den ich kenne nicht vor.
Der Beweis, mit dem Umweg über Set ist ziemlich sicher der einfachste. Und er funktioniert für gerichtete Systeme wunderbar. Er hat für meinen Geschmack den ästhetischen Makel, dass man die Kategorie verlassen muss und nicht die universelle Konstruktion sieht: Gibt es in einer Kategorie Koprodukte und (spezielle) Quotienten, dann existiert der Limes und ist ein Quotient des Koproduktes.
Dass man im allgemeinen (für nicht gerichtete Systeme) freie Produkte braucht ist selbst für das einfachste dieser Systeme klar: Wenn wir überhaupt keine Ordung haben: d.h. [mm] $i\geq [/mm] j [mm] \gdw [/mm] i=j$ dann ist die universelle Eigenschaft für den Limes gerade die des freien Produktes.
Als gerichtetes Beispiel nimm das endliche System über der Indexmenge {1,2,3} mit der Ordnung 1<3, 2<3 und sonst nichts. Der Limes eines solchen Systems ist immer [mm] G_3, [/mm] weil das das einzige maximale Element ist. Wir betrachten den Fall [mm] $G_3=G_1\ast G_2$ [/mm] (freies Produkt) mit den kanonischen Abbildungen. Dann kann der Limes kein Quotient einer Gruppe sein, in der die Elemente von [mm] $G_1$ [/mm] mit denen von [mm] $G_2$ [/mm] kommutieren. Also ist der Limes insbesondere kein Quotient von [mm] $G_1\times G_2 \times G_3$ [/mm] mit den kanonischen Einbettungen von [mm] $G_i$. [/mm]
Grüße
Peter
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