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| Aufgabe | Bestimmen sie, für welche [mm] n\le \IN [/mm] folgende Ungleichung gilt
[mm]n!\le (\bruch{n}{2})^{n}[/mm]
(Hinweis: Sollten Sie im Induktionsschritt die Ungleichung [mm]n^n\le\bruch{1}{2}(n+1)^n[/mm] brauchen, zeigen Sie diese mit Hilfe der Bernouilli-Ungleichung |
Hallo zusammen ich bräuchte mal starthilfe für diese Aufgabe, weiß nicht wirklich wie ich beginnen soll...
vieln dank schonmal fürs nachdenken^^
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:07 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen sie, für welche [mm]n \red{\le} \IN[/mm]
$n [mm] \blue{\in} \IN$
[/mm]
> folgende Ungleichung
> gilt
>
> [mm]n!\le (\bruch{n}{2})^{n}[/mm]
>
> (Hinweis: Sollten Sie im Induktionsschritt die Ungleichung
> [mm]n^n\le\bruch{1}{2}(n+1)^n[/mm] brauchen, zeigen Sie diese mit
> Hilfe der Bernouilli-Ungleichung
> Hallo zusammen ich bräuchte mal starthilfe für diese
> Aufgabe, weiß nicht wirklich wie ich beginnen soll...
>
>
>
> vieln dank schonmal fürs nachdenken^^
Du musst erstmal herausfinden, für welche $n [mm] \in \IN$ [/mm] die Behauptung wohl stimmt. Für $n=1$ passt's nicht, da [mm] $1!\le \left(\frac{1}{2}\right)^1 \gdw [/mm] 1 [mm] \le \frac{1}{2}$, [/mm] was sicherlich falsch ist.
Da musst Du halt ein wenig testen...
Ich denke, dass die Behauptung wohl für alle $n [mm] \ge [/mm] 6$ gelten wird.
Das heißt:
Behauptung:
Für alle $n [mm] \in \IN_{\ge 6}$ [/mm] gilt $n! [mm] \le \left(\frac{n}{2}\right)^n$
[/mm]
Und das solltest Du nun per Induktion beweisen, was nun Deine Aufgabe ist. Wenn etwas unklar ist, dann frage bitte nach, aber es wurde ja quasi schon ein Hinweis zu dem Induktionsschritt gegeben. (Ich habe den Beweis nun selbst noch nicht geführt, daher weiß ich nicht, ob der Hinweis wirklich nötig ist oder man auch ohne auskommt. Jedenfalls kann es sein, dass diese Hilfsungleichung bei einer bestimmten Vorgehensweise im Induktionsschritt hilfreich ist.)
Noch zu dem Tipp:
Die Bernoulli-Ungleichung lautet übrigens:
Für jedes $r [mm] \ge [/mm] -1$ und $m [mm] \in \IN_0$ [/mm] gilt:
[mm] $(1+r)^m \ge [/mm] 1+m*r$
Und wenn Du die Hilfsungleichung
[mm] $n^n \le \frac{1}{2}(n+1)^n$
[/mm]
zeigen willst, wirst Du dabei wohl die Bernoulli-Ungleichung brauchen, denn:
[mm] $n^n \le \frac{1}{2}(n+1)^n$
[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] $2 [mm] \le \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$
[/mm]
Und die Richtigkeit der letzten Ungleichung erkennst Du eben mit Bernoulli mit [mm] $r:=\frac{1}{n}$ [/mm] (was $> 0 [mm] \ge [/mm] -1$ für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist) und $m:=n$.
P.S.: Also der Anfang des Induktionsbeweises sollte so aussehen:
Für $n=6$ stimmt die Ungleichung, da ...
I.V. Sei nun $n [mm] \in \IN_{\ge 6}$ [/mm] mit [mm] $(\*)$ [/mm] $n! [mm] \le \left(\frac{n}{2}\right)^n$
[/mm]
$n [mm] \mapsto [/mm] n+1$: Zu zeigen: Dann gilt $(n+1)! [mm] \le \left(\frac{n+1}{2}\right)^{n+1}$
[/mm]
Nun gibt es zwei Wege:
1. Weg:
Fange an mit:
Es gilt:
$(n+1)!=n!*(n+1)$ und schätze dieses nun nach oben ab unter Verwendung von [mm] $(\*)$, [/mm] also $n! [mm] \le \left(\frac{n}{2}\right)^n$, [/mm] in der Hoffnung, dass man eine Ungleichungskette erhält, an deren Ende [mm] $\le \left(\frac{n+1}{2}\right)^{n+1}$ [/mm] steht.
2. Weg:
Man könnte anfangen mit:
Es gilt
[mm] $\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n+1}=\left(\frac{n+1}{2}\right)^n*\frac{n+1}{2}$
[/mm]
und dieses solltest Du dann nach unten so abschätzen, dass man irgendwann [mm] $(\*)$, [/mm] also die I.V., benutzen kann, und dass man so eine Ungleichungskette erhält, an deren Ende [mm] $\ge [/mm] (n+1)!$ steht.
Und bitte: Wenn beide Wege klappen: Einer reicht  Du kannst Dich also getrost für einen entscheiden; ich hoffe, dass Du wenigstens einen hinbekommst
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:06 Fr 28.03.2008 | | Autor: | hallihallo |
danke!
werd mich dann mal da wieder ransetzen^^
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