Induktionsbeweis mit Umordnung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:02 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Andre85 |
| Aufgabe 1 | Es seien [mm]x_{1}, x_{2},..., x_{n} [/mm] positive reelle Zahlen und [mm]y_{1}, y_{2},..., y_{n}[/mm] eine beliebige Umordnung dieser Zahlen. Beweisen Sie:
[mm]\summe_{n=1}^{k}\bruch{x_{k}}{y_{k}} \geq n[/mm]. |
| Aufgabe 2 | Zusatz (schwieriger): Setzt man [mm]x_{n+1} := x_{1}[/mm], dann gilt auch:
[mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{x_{k+1}}{x_{k}} \leq \summe_{k=1}^{n} (\bruch{x_{k}}{x_{k+1}})^2[/mm]
Hinweis: Benutzen Sie die Ungleichung vom geometrischen und arithmetischen Mittel! |
Okay, ich check die Aufgabe1 nicht so ganz, deswegen schreib ich hier.
Also, nur zu Aufgabe Eins:
Ich würde gerne wie immer n = 1 wählen, aber hier wirds wohl eher k = 1. (Induktionsanfang) Dann steht da doch (Summenzeichen kann ja weg, weil von 1 bis 1):
eine positive reele Zahl durch irgendeine andere ist größer/gleich 1.
ja?
Aber das stimmt doch schon nicht. Wenn der Nenner größer als der Zähler ist, ist der Bruch doch kleiner als 1.
Sind die Zahlen x geordnet? (Ohne das das da steht)?
Sind n und k vertauscht? (Beim Summenzeichen)?
Oder versteh ich die Aufgabe nicht?
Vielen Dank für Tipps und Tricks zur Lösung dieser Aufgabe!
Die Zweite Aufgabe hab ich auch eingetippt, falls man dadurch auf 1. die vertauschten Indizes und 2. einen Lösungsansatz kommen könnte.
Viele Grüße und einen schönen Abend noch,
Andre
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:19 So 07.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Es seien [mm]x_{1}, x_{2},..., x_{n}[/mm] positive reelle Zahlen und
> [mm]y_{1}, y_{2},..., y_{n}[/mm] eine beliebige Umordnung dieser
> Zahlen. Beweisen Sie:
> [mm]\summe_{n=1}^{k}\bruch{x_{k}}{y_{k}} \geq n[/mm].
Eine Frage, sind die Indizes richtig benannt?
[mm] \summe_{n=1}^{k}\bruch{x_{k}}{y_{k}}\ge [/mm] n bedeutet ja, da in der Summe keine n Abhängigkeit besteht
[mm] k*\bruch{x_{k}}{y_{k}}\ge [/mm] n
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:09 So 07.11.2010 | | Autor: | Pauli90 |
hi,
also erstmal sind n und k sehr wahrscheinlich vertauscht sonst hätte der beweis wenig sinn
dann ist es ziemlich ungünstig diese ungleichung mit vollständiger induktion zu zeigen.
du hast als hinweis bekommen das arithmetische und geometrische mittel zu benutzen also würde ich vorschlagen du tust das auch.
es ist vom prinzip her ganz einfach
du dividierst die ganze ungleichung durch n, dann erhälst du :
[img][mm] \bruch{\summe_{k=1}^{n}\bruch{x_{k}}{y_{k}}}{n}\ge1[/mm] [url=1]
jetzt solltest du eigendlich erkennen das man mit dem term auf der linken seite die ungleichung vom arithmetischen und geometrischen mittel anwenden kann. versuch es mal.
bedenke dabei das die menge [mm] y_{k} [/mm] eine Umordnung von [mm] x_{k} [/mm] ist also eine permutation. das bedeutet das die beiden mengen aber identische elemente haben halt nur anders angeordnet. überleg dir dazu was aus dem quotienten der beiden produkte passiert (Tipp: Kommutativität)
viel erfolg
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