Induktionsbeweis bei k³ < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie:
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] k³= [mm] \bruch{n²(n+1)²}{4} [/mm] |
Soweit hab ich bis jetzt die Induktion verstanden. Ich komm beim umformen aber nicht weiter.
mein Ansatz ohne Induktionsanfang:
zu zeigen ist (richtig?vl. hier schon der fehler):
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} [/mm] k³ + (n+1)³ = [mm] \bruch{(n+1)^2[(n+1)+1]^2}{4} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)²(n+2)²}{4}
[/mm]
Lösung:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} [/mm] k³ [mm] =\summe_{i=1}^{n} [/mm] k³ + (n+1)³ = [mm] \bruch{n²(n+1)²}{4} [/mm] + [mm] \bruch{4(n+1)²}{4} [/mm] = [mm] \bruch{n²(n+1)²+4(n+1)³}{4}
[/mm]
da habe ich jetzt (n+1)² ausgeklammert im Zähler:
= [mm] \bruch{(n+1)²[n²+4n(n+1)]}{4} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)²(n²+4n+1)}{4}
[/mm]
jetzt hab ich keine Ahnung wie ich auf das komme was ich bei zu zeigen geschrieben habe.
Wäre über einen kurzen Tipp schon sehr dankbar,
Gruß Lukas
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:41 Mo 12.10.2009 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
meinst du s = 3 ?
Fasse den Ausdruck [mm] \frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^2 [/mm] zu einem Bruch zusammen, dann erhälst du die Behauptung!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:48 Mo 12.10.2009 | | Autor: | zahllos |
Sorry, jetzt bin ich auch mit den Exponenten durcheinandergekommen:
[mm] \frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3 [/mm] = [mm] \frac{n^2(n+1)^2+4(n+1)^3}{4}=\frac{(n+1)^2(n^2+4n+4)}{4}=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}
[/mm]
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Hallo Lukas,
> Beweisen Sie:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] k³= [mm]\bruch{n²(n+1)²}{4}[/mm]
> Soweit hab ich bis jetzt die Induktion verstanden. Ich
> komm beim umformen aber nicht weiter.
>
> mein Ansatz ohne Induktionsanfang:
>
> zu zeigen ist (richtig?vl. hier schon der fehler):
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1}[/mm] k³ + (n+1)³ =
> [mm]\bruch{(n+1)^2[(n+1)+1]^2}{4}[/mm] = [mm]\bruch{(n+1)²(n+2)²}{4}[/mm]
Puh, zum einen muss doch an der Summe der Laufindex k sein und nicht i!
Zum anderen ist im Induktionsschritt zu zeigen, dass [mm] $\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^3=\frac{(n+1)^2\cdot{}(n+2)^2}{4}$ [/mm] gilt
Dazu schreibe die Summe [mm] $\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^3$ [/mm] so um, dass du die Induktionsvoraussetzung (die da lautet?) benutzen kannst:
[mm] $\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^3=\left(\sum\limits_{k=1}^{\red{n}}k^3\right)+(n+1)^3$
[/mm]
Auf die Summe kannst du nun die Induktionsvoraussetzung anwenden!
[mm] $...=\frac{n^2\cdot{}(n+1)^2}{4}+(n+1)^3$
[/mm]
Das forme nun weiter um, bis am Ende da steht [mm] $...=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}$
[/mm]
>
> Lösung:
Huch?
Ab hier ist wieder was richtiges ...
Du solltest die Exponenten mit dem Dach ^ machen,, sonst werden sie nicht angezeigt!
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1}[/mm] k³ [mm]=\summe_{i=1}^{n}[/mm] k³ + (n+1)³ [/mm] =
> [mm] $\bruch{n^2(n+1)^2}{4} [/mm] + [mm] \bruch{4(n+1)^{\red{2}}}{4}$ [/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Hier steht im Quelltext ein "hoch 2", das muss aber "hoch 3" sein!
> = [mm]\bruch{n^2(n+1)^2+4(n+1)^3}{4}[/mm]
Hier stimmt's wieder laut Quelltext ...
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Schreibe sorgfältiger auf!
>
> da habe ich jetzt (n+1)² ausgeklammert im Zähler: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
richtige Idee!
>
> = [mm] $\bruch{(n+1)^2[n^2+4\red{n}(n+1)]}{4}=\bruch{(n+1)^2(n^2+4n+1)}{4}$
[/mm]
Das n ist zuviel!
Im Zähler muss stehen [mm] $(n+1)^2\cdot{}\left[n^2+4\cdot{}(n+1)\right]$
[/mm]
Fasse das mal richtig zusammen und du kommst auf die zu zeigende rechte Seite der Induktionsbeh,
>
> jetzt hab ich keine Ahnung wie ich auf das komme was ich
> bei zu zeigen geschrieben habe.
>
> Wäre über einen kurzen Tipp schon sehr dankbar,
> Gruß Lukas
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:55 Mo 12.10.2009 | | Autor: | Nelly12345 |
Danke danke euch beide, wenn ich jetzt noch die Funktion "Frage beantwortet" finde mach ich das ganz schnell wieder zu hier.
Lukas
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Hallo nochmal,
ist schon erledigt 
Gruß
schachuzipus
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