Induktionsbeweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:05 Sa 08.07.2006 | | Autor: | clwoe |
| Aufgabe | Beweisen sie durch vollständige Induktion:
[mm] \forall n\in \IN:(n>4 \Rightarrow 2^{n}>n^{2})
[/mm]
Die exakte Lösung lautet:
Für n=5 kann man es ganz leicht überprüfen und stellt fest es stimmt, ist also wahr. Ist [mm] n\ge [/mm] 5 beliebig und [mm] 2^{n}>n^{2}, [/mm] so ist [mm] n^{2}\ge [/mm] 5n [mm] \ge2n+1, [/mm] also [mm] 2^{2n+1} >n^{2}+n^{2} \ge n^{2}+2n+1= (n+1)^{2}. [/mm] Und damit ist es bewiesen. |
So,
nun gehts los. Ich weiß ganz genau was die Induktion bedeutet, nämlich, dass am Ende des Beweises gezeigt werden soll, dass die obige Folgerung auch für n+1 gilt. Man kann laut obiger Lösung sehen, dass am Ende ja ganz genau das heraus kommt was man haben möchte. Allerdings müssen diese einzelnen Rechenschritte noch irgendwie nachvollziehbar sein, und genau da hakt es bei mir. Ich weiss genau was rauskommen soll, kann aber diese Schritte des Autors nicht nachvollziehen. Das ich zuerst die 5 überprüfen muss ist mir klar, aber dann. Woher leitet er aus [mm] 2^{n}>n^{2} [/mm] folgendes ab: [mm] n^{2}\ge [/mm] 5n [mm] \ge2n+1. [/mm] Diesen Schritt verstehe ich nicht. Und ausserdem noch den letzten Schritt. Wieso kann er daraus folgern dass: [mm] 2^{n+1} >n^{2}+n^{2} \ge n^{2}+2n+1= (n+1)^{2} [/mm] ist. Ich verstehe nicht woher diese Rechenschritte kommen. Kann es sein, dass dies einfach ein weiteres deduktives Verfahren darstellt, dass heißt, die Schritte müssen logisch richtig und nachvollziehbar sein egal wie man auf die einzelnen Schritte kommt, so dass halt am Ende das gewünschte Ergebnis dasteht? Ich habe schon alles mögliche aus der Rechnung miteinander verglichen und ausprobiert nur um zu klären woher er diese Schritte nimmt. Aber vergebens.
Vielleicht kann mir jemand von euch hier weiterhelfen.
Gruß,
clwoe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:47 Sa 08.07.2006 | | Autor: | riwe |
haloo clwoe
(I) [mm]n^{2}=n\cdot n \ge 5n [/mm] weil n>5 und 5n = 2n + 3n [mm] \ge [/mm] 2n + 1 aus demselben grund.
und [mm] 2^{n+1}= 2\cdot 2^{n}\ge n^{2}+n^{2} [/mm] gilt gemäß induktionsvoraussetzung für [mm] 2^{n} [/mm] und jetzt benutzt du (I).
ich hoffe, es hilft dir weiter
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:28 Sa 08.07.2006 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
sorry aber ich kann es nun genauso wenig nachvollziehen wie vorhin.
Das [mm] n^{2}=n\cdot n\ge [/mm] 5n ist verstehe ich schon und das 5n=2n+3n [mm] $\ge [/mm] $ 2n+1 ist verstehe ich auch, aber woher nimmt man das und warum gerade 2n+3n ich könnte doch auch 4n+n nehmen, das wäre genauso richtig. Und warum gerade 2n+1, ich könnte doch auch 2n+2 nehmen. Mache ich das weil es im Ergebnis vorkommen muss, da ich ja die Lösung eigentlich schon kenne? Und warum gilt $ [mm] 2^{n+1}=2\cdot 2^{n}\ge n^{2}+n^{2} [/mm] $ wegen der Induktionsvoraussetzung??? Warum gerade [mm] n^2+n^2 [/mm] und nicht etwas anderes da gäbe es doch unendlich viele Möglichkeiten, so dass die Ungleichung erfüllt wäre. Die Induktionsvoraussetzung ist doch nur $ [mm] 2^{n} $>n^2
[/mm]
Ich hoffe mir kann noch mal jemand weiterhelfen.
Gruß,
clwoe
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Hallo!
Ich weiß nicht, ob es hilft, aber ich würde den Induktionsbeweis so aufschreiben:
Es gilt nach Induktionsvoraussetzung: [mm] 2^n>n^2. [/mm] Zu zeigen ist nun: [mm] 2^{n+1}>(n+1)^2. [/mm] Und diese Ungleichung formen wir nun erstmal um, mit dem Hintergedanken, dass wir eben genau das Ungleichheitszeichen noch zeigen müssen:
[mm] 2^{n+1}>(n+1)^2
[/mm]
[mm] \gdw 2*2^n>n^2+2n+1
[/mm]
Nun gilt nach Induktionsvoraussetzung: [mm] 2*2^n>2*n^2, [/mm] wir haben also noch zu zeigen:
[mm] 2n^2>n^2+2n+1
[/mm]
[mm] \gdw n^2>2n+1
[/mm]
und das gilt genau deswegen, weil für n>5 gilt: [mm] $n^2\ge 5n\ge 2n+3n\ge [/mm] 2n+1$.
Warum man das genau so macht, kann ich dir leider tatsächlich nur damit erklären, dass es ja nachher rauskommen soll. Ich denke, nach einigen Induktionsbeweisen hast du ein "Gefühl" dafür, wie man das macht. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Sa 08.07.2006 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
nun bin ich schon ein bisschen weiter, was den letzten Teil angeht, aber das hier: Nun gilt nach Induktionsvoraussetzung: $ [mm] 2\cdot{}2^n>2\cdot{}n^2, [/mm] $
verstehe ich immer noch nicht. Woher nimmst du diese Induktionsvoraussetzung??? Wie kommst du auf [mm] 2\cdot{}n^2???
[/mm]
Den Rest habe ich verstanden. Ich sehe ein, dass es halt einfach so gemacht wird und ja auch gerade dies die Kunst ist, sage ich mal die Sache eben so zu beweisen.
Gruß,
clwoe
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Hallo!
> nun bin ich schon ein bisschen weiter, was den letzten
> Teil angeht, aber das hier: Nun gilt nach
> Induktionsvoraussetzung: [mm]2\cdot{}2^n>2\cdot{}n^2,[/mm]
> verstehe ich immer noch nicht. Woher nimmst du diese
> Induktionsvoraussetzung??? Wie kommst du auf
> [mm]2\cdot{}n^2???[/mm]
Induktionsvoraussetzung bedeutet doch, dass das, was zu beweisen ist, für alle n schon gezeigt ist (und im Induktionsschritt für n+1 gezeigt werden soll). Also gilt nach Induktionsvoraussetzung: [mm] 2^n>n^2, [/mm] und da wir hier nicht [mm] 2^n [/mm] sondern [mm] 2*2^n [/mm] stehen hatten, haben wir dann natürlich auf der rechten Seite nicht [mm] n^2 [/mm] sondern [mm] 2*n^2 [/mm] stehen. Klar jetzt?
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:13 Sa 08.07.2006 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
das man hier mit zwei erweitern muss habe ich gar nicht gemerkt, oder dass mit zwei erweitert wurde. Das macht die Sache nun natürlich verständlich. Allerdings, glaube ich habe ich auch den Fehler gemacht, dass ich von Anfang an vorausgesetzt habe das ich auf beiden Seiten n+1 setzen muss, doch ich muss doch eigentlich nur zeigen, dass aus [mm] 2^{n+1} [/mm] eben über Rechnung [mm] (n+1)^2 [/mm] folgt, wie kompliziert oder ausgefallen diese Rechnung auch immer sein mag. Oder nicht?
Gruß,
clwoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:29 Mo 10.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:38 Sa 08.07.2006 | | Autor: | Tequila |
Hallo ich geb auch mal meinen Senf dazu :)
Also du sollst zeigen das [mm] 2*2^{n} [/mm] > [mm] (n+1)^{2}
[/mm]
Aber du darfst das ja nicht einfach so hinschreiben
Mathematisch korrekt machst du erst auf der linken seite
aus [mm] 2^{n} [/mm] wird [mm] 2^{n+1} [/mm] = [mm] 2*2^{n}
[/mm]
du hast ja hier im Prinzip mit 2 erweitert -> also musst du das auf der anderen Seite auch machen
dann hast du ja [mm] n^{2} [/mm] * 2
aber die rechte Seite soll ja [mm] (n+1)^{2} [/mm] sein
also musst du noch zeigen das [mm] n^{2} [/mm] *2 > [mm] (n+1)^{2} [/mm] ist damit die Bedingung erfüllt ist !
Man könnte auch von der rechten Seite rangehen aber das wäre komplizierte finde ich !
weil um aus [mm] n^{2} (n+1)^{2} [/mm] zu formen also -> [mm] n^{2} [/mm] + 2n +1
müsstest du ja mit nem komplizierteren Bruch erweitern
dann musst du später einfach zeigen das [mm] 2^{n} [/mm] * irgendwas < [mm] 2^{n+1} [/mm] ist. Das ist schwerer.
Ich hoffe ich konnte auch ein wenig weiterhelfen !
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