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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:50 Do 15.12.2011 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Betrachte für n [mm] \ge [/mm] 2 die Tridiagonalmatrizen
[mm] T_n:=\pmat{ 1 & \delta_1 & 0 & ... & 0 \\ \beta_2 & 1 & \delta_2 & \ddots & \vdots \\ 0 & \beta_3 & 1 & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \delta_{n-1} \\ 0 & ... & 0 & \beta_n & 1}
[/mm]
Weise nach, dass die Matrizen [mm] T_n, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 2, konsistent geordnet sind.
Zeige dazu durch vollständige Induktion nach n, dass die charakteristischen Polynome [mm] \chi_n [/mm] der zugeordneten Matrizen [mm] C_n(\alpha) [/mm] unabhängig von Parameter $ [mm] \alpha \in \IC\backslash\{0\} [/mm] $ sind. |
Hallo! Habe etwas Probleme mit dem Induktionsbeweis. Was ich habe:
Im Folgenden ist D der Diagonalteil, L die strikte linke untere und R die strikte rechte obere Dreiecksmatrix von [mm] T_n.
[/mm]
[mm] C(\alpha)=-(\alpha D^{-1}L+\alpha^{-1}D^{-1}R) [/mm] mit [mm] \alpha \in \IC\backslash\{0\}
[/mm]
Für das charakteristische Polynom bin ich gekommen auf:
[mm] \chi_n=(-1)^n*[\lambda^n+\beta_2\delta_1\lambda^{n-2}(\alpha*\alpha^{-1})+...+\beta_n\delta_{n-1}\lambda^{n-2}(\alpha*\alpha^{-1})-r_n*(\alpha*\alpha^{-1})] [/mm] wobei r hier ein Rest ist.
Wegen [mm] (\alpha*\alpha^{-1})=1 [/mm] ergibt sich:
[mm] \chi_n=(-1)^n*(\lambda^n+\beta_2\delta_1\lambda^{n-2}+...+\beta_n\delta_{n-1}\lambda^{n-2}-r_n)
[/mm]
So, jetzt zu meinem Induktionsversuch. Es ist
[mm] \chi_{n+1}=(-1)^{n+1}*(\lambda^{n+1}+\beta_2\delta_1\lambda^{(n+1)-2}+...+\beta_{n}\delta_{n-1}\lambda^{(n+1)-2}+\beta_{n+1}\delta_{n}\lambda^{(n+1)-2}-r_{n+1})
[/mm]
[mm] =(-1)(\lambda*([(-1)^{n}*(\lambda^{n}+\beta_2\delta_1\lambda^{n-2}+...+\beta_{n}\delta_{n-1}\lambda^{n-2}]+\beta_{n+1}\delta_{n}\lambda^{n-2})-r_{n+1})
[/mm]
Wobei der Teil in der eckigen Klammer [] [mm] =\chi_n [/mm] ist. Also:
[mm] \chi_{n+1}=(-1)((\chi_n+\beta_{n+1}\delta_n\lambda^{n-2})*\lambda)-r_n+1)
[/mm]
ist ja offensichtlich auch unabhängig von [mm] \alpha [/mm] , also konsistent. (?)
Hoffe die Idee geht zumindest in die richtige Richtung.. [mm] :\
[/mm]
Danke schonmal! :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Sa 17.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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