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| Aufgabe | Es sei k ein Körper und [mm] a_{1}, [/mm] ...., [mm] a_{n} \in [/mm] k wobei n [mm] \ge [/mm] 2. Es sei A [mm] \in [/mm] Mat (n X n, k) die folgende Matrix:
A = [mm] \pmat{ 1 & 1 & ... & 1 \\ a_{1} & a_{2} & ... & a_{n} \\ a_{1}^2 & a_{2}^2 & ... & a_{n}^2 \\ ... \\ a_{1}^{n-1} & a_{2}^{n-1} & ... & a_{n}^{n-1} }
[/mm]
Zeigen Sie, dass
det A = [mm] \produkt_{1\le i< j \le n} (a_{j} [/mm] - [mm] a_{i})
[/mm]
Hinweis: Verwenden Sie einen geeigneten Guaß-Algorithmus und Indutkion über n. |
Hi Leute,
also ich hab das mal gemacht, bin mir aber nicht sicher, ob's ganz richtig ist. Wär also ganz nett, wenn das jmd. überprüfen könnte und wenn was falsch ist, bitte auch sagen, wo der Fehler liegt, damit ich das dann nachvollziehen kann...
Danke schon mal
Also zur meiner Lösung:
IA: n=2:
A = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ a_{1} & a_{2} }
[/mm]
d.h. det (A) = [mm] a_{2} [/mm] - [mm] a_{1}
[/mm]
n= 3:
A = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ a_{1}^2 & a_{2}^2 & a_{3}^2 }
[/mm]
Ich habe diese Matriz mit Hilfe von Gauß in Zeilenstufenform gebracht; zunächt [mm] II-a_{1}*I, [/mm] dann [mm] III-a_{1}^2*I [/mm] und schließlich [mm] III-(a_{2}^2-a_{1}^2)*I
[/mm]
daraus ergibt sich folgende Matrix
A = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & a_{2}-a_{1} & a_{3}-a_{1} \\ 0 & 0 & a_{3}^2-a_{1}^2-(a_{2}^2-a_{1}^2) }
[/mm]
d.h. det A = 1 * [mm] (a_{2}-a_{1}) [/mm] * [mm] (a_{3}^2-a_{2}^2)
[/mm]
IS:
n [mm] \to [/mm] n+1
det [mm] \pmat{ 1 & 1 & ... & 1 \\ a_{1} & a_{2} & ... & a_{n+1} \\ a_{1}^2 & a_{2}^2 & ... & a_{n+1}^2 \\ ... \\ a_{1}^{n} & a_{2}^{n} & ... & a_{n+1}^{n} } [/mm] = [mm] \produkt_{1\le i< j \le n+1} (a_{j} [/mm] - [mm] a_{i})
[/mm]
[mm] \produkt_{1\le i< j \le n+1} (a_{j} [/mm] - [mm] a_{i}) [/mm] = [mm] \produkt_{1\le i< j \le n} (a_{j} [/mm] - [mm] a_{i}) [/mm] + ((n+1)-(n+1)) = [mm] \pmat{ 1 & 1 & ... & 1 \\ a_{1} & a_{2} & ... & a_{n+1} \\ a_{1}^2 & a_{2}^2 & ... & a_{n+1}^2 \\ ... \\ a_{1}^{n} & a_{2}^{n} & ... & a_{n+1}^{n} } [/mm] + ((n+1)-(n+1)) = [mm] \pmat{ 1 & 1 & ... & 1 \\ a_{1} & a_{2} & ... & a_{n+1} \\ a_{1}^2 & a_{2}^2 & ... & a_{n+1}^2 \\ ... \\ a_{1}^{n} & a_{2}^{n} & ... & a_{n+1}^{n} }
[/mm]
Bin ich dann fertig mit der Aufgabe oder hab ich was übersehen?
Für evtl. Verbesserungsvorschläge bin ich jederzeit offen!
Danke nochmal
Grüßle
Selinara
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:25 Do 03.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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