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| Aufgabe | Man zeige: für je zwei natürliche Zahlen m, n gilt:
[mm] m
und es gilt: [mm] (1+\bruch{1}{n}<3 [/mm] für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
Dazu gibt es folgenden Tipp:
Betrachte die Aufgabe
(*) [mm] \produkt_{i=1}^{n}(1+x_i)\ge 1+\summe_{i=1}^{n}x_i
[/mm]
mit [mm] x_i=-\bruch{1}{n^2} [/mm] |
Hallo,
ich bin das Ganze wie folgt angegangen. Der Beweis geht mit Induktion (hab ich mit unserem Tutor besprochen), wenn man als Induktionsanfang n=m+1 wählt und m beliebig lässt.
Also:
IA: n=m+1
[mm] \Rightarrow [/mm]
(1) [mm] (1+\bruch{1}{m})^m\le(1+\bruch{1}{m+1})^{m+1}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
(2) [mm] (1+\bruch{1}{m})^m\le(1+\bruch{1}{m+1})*(1+\bruch{1}{m+1})^{m}
[/mm]
Dann teile ich durch [mm] (1+\bruch{1}{m+1})^{m} [/mm] und erhalte:
(3) [mm] (\bruch{(m+1)^2}{m*(m+1)})^m\le [/mm] 1+ [mm] \bruch{1}{m+1}
[/mm]
Jetzt wende ich den Tipp (*) an und setze in (*) [mm] x_i:=-\bruch{1}{(m+1)^2} [/mm] und erhalte:
(4) [mm] (\bruch{m*(m+2)}{(m+1)^2})^{m+1}\ge 1-\bruch{1}{m+1}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
(5) [mm] (\bruch{(m+1)^2}{m*(m+2)})^{m+1}\le 1+\bruch{1}{m}
[/mm]
Hier stecke ich fest. Habe ich damit schon den Induktionsanfang bewiesen? Oder muss ich (5) und (3) noch irgendwie kombinieren?
Nun zum Induktionsschritt. Hier setze ich [mm] n\to [/mm] n+1. Das heißt doch, dass ich zeigen muss, dass:
(1') [mm] 1+\bruch{1}{m})^m\le(1+\bruch{1}{n+1})^{n+1}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
(2') [mm] 1+\bruch{1}{m})^m\le1+\bruch{1}{n+1})*(1+\bruch{1}{n+1})^{n}
[/mm]
Aber hier weiß ich gerade nicht weiter.
Für Hilfe wäre ich überaus dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Man zeige: für je zwei natürliche Zahlen m, n gilt:
>
> [mm]m
>
> und es gilt: [mm](1+\bruch{1}{n}<3[/mm] für alle [mm]n\in\IN.[/mm]
>
> Dazu gibt es folgenden Tipp:
> Betrachte die Aufgabe
>
> (*) [mm]\produkt_{i=1}^{n}(1+x_i)\ge 1+\summe_{i=1}^{n}x_i[/mm]
>
> mit [mm]x_i=-\bruch{1}{n^2}[/mm]
> Hallo,
>
> ich bin das Ganze wie folgt angegangen. Der Beweis geht mit
> Induktion (hab ich mit unserem Tutor besprochen), wenn man
> als Induktionsanfang n=m+1 wählt und m beliebig lässt.
>
> Also:
> IA: n=m+1
Was soll denn das sein, ein Induktionsanfang? ne, ne, ne, ne, nee! 
Dein Induktionsanfang wäre dann nach der vorgeschlagenen Methode m=1 und n=2, und dann halt nachrechnen.
Jetzt heißt die Überschrift Induktionsschritt o.ä.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> (1) [mm](1+\bruch{1}{m})^m\le(1+\bruch{1}{m+1})^{m+1}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> (2)
> [mm](1+\bruch{1}{m})^m\le(1+\bruch{1}{m+1})*(1+\bruch{1}{m+1})^{m}[/mm]
>
> Dann teile ich durch [mm](1+\bruch{1}{m+1})^{m}[/mm] und erhalte:
>
> (3) [mm](\bruch{(m+1)^2}{m*(m+1)})^m\le[/mm] 1+ [mm]\bruch{1}{m+1}[/mm]
>
Im Nenner sollte es m*(m+2) heißen auf der linken Seite.
Und jetzt wirst du um die Anwendung der Bernoulli-Ungleichung wohl nicht herumkommen, wenn ich das richtig sehe.
Gruß, Diophant
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Hallo Diophant,
vielen Dank für Deine Antwort. Ich steh hier echt gerade ein wenig auf dem Schlauch. Die Bernoulli Formel, über die du sprichst, ist doch sicherlich diejenige, die ich als (*) angegeben habe, nehme ich an. Mein Problem ist, wie ich (3) und (*) in Beziehung setze. Kannst Du mir da bitte auf die Sprünge helfen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:35 Mi 08.05.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
ich muss mich bei dir entschuldigen, mein Tipp war doof. Ich hatte es dann auch eingesehen, musste aber noch dringend weg.
Marcel hat das ganze ja jetzt fortgeführt, mit seinem Tipps wirst du sicherlich weiterkommen.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 Mi 08.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Diophant,
>
> vielen Dank für Deine Antwort. Ich steh hier echt gerade
> ein wenig auf dem Schlauch. Die Bernoulli Formel, über die
> du sprichst, ist doch sicherlich diejenige, die ich als (*)
> angegeben habe, nehme ich an.
ja, sie folgt aus (*), wenn alle [mm] $x_r=c [/mm] > [mm] -1\,$ [/mm] sind. Allgemein lautet die
Bernoulli-Ungleichung
[mm] $$(1+r)^n \ge [/mm] 1+n*r$$
für alle $r > -1$ und $n [mm] \in \IN.$
[/mm]
Wie gesagt: Ich würde die Aufgabe gar nicht mit dem Tipp lösen...
(Gut, wenn man in den Monotoniebeweis der von mir erwähnten Folge
guckt, löst man sie doch wieder irgendwie mit dem Tipp...)
Kannst Du natürlich auch machen, aber im Endeffekt ist es das Gleiche, wie
das, was ich geschrieben habe, nur anders verpackt...
Gruß,
Marcel
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Hallo,
ich habe mich noch mal kundig gemacht (also mit unserem Tutor gesprochen). Wir sollen das schon mit Induktion machen. Allerdings scheint das wirklich nicht einfach zu sein. Vor allem, meinte er, dass ich beim Induktionsanfang:
(2) [mm] (1+\bruch{1}{m})^m\le(1+\bruch{1}{m+1})\cdot{}(1+\bruch{1}{m+1})^{m}
[/mm]
durch die LINKE Seite teilen soll, damit ich mit dem Hinweis (*) nach unten abschätzen kann. Ich frag mich nur, was ich davon habe? Ich bin verwirrt. Kann das jemand erklären?
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Hallo lord.garbage,
> ich habe mich noch mal kundig gemacht (also mit unserem
> Tutor gesprochen). Wir sollen das schon mit Induktion
> machen. Allerdings scheint das wirklich nicht einfach zu
> sein. Vor allem, meinte er, dass ich beim
> Induktionsanfang:
>
> (2)
> [mm](1+\bruch{1}{m})^m\le(1+\bruch{1}{m+1})\cdot{}(1+\bruch{1}{m+1})^{m}[/mm]
>
> durch die LINKE Seite teilen soll, damit ich mit dem
> Hinweis (*) nach unten abschätzen kann. Ich frag mich nur,
> was ich davon habe? Ich bin verwirrt. Kann das jemand
> erklären?
Einfach mal machen:
[mm] 1\le\bruch{m+2}{m+1}*\left(\bruch{m+2}{m+1}\right)^m*\left(\bruch{m}{m+1}\right)^m=\bruch{m+2}{m+1}*\left(\bruch{m(m+2)}{(m+1)^2}\right)^m=\bruch{m+2}{m+1}*\left(1-\bruch{1}{(m+1)^2}\right)^m=\cdots
[/mm]
Jetzt den Tipp anwenden (also die Bernoulliungleichung):
[mm] \cdots\ge\bruch{m+2}{m+1}*\left(1-\bruch{m}{(m+1)^2}\right)=\bruch{m+2}{m+1}*\bruch{m^2+m+1}{(m+1)^2}=\bruch{(m+2)(m^2+m+1)}{(m+1)^3}=\cdots
[/mm]
Die Ungleichungskette ist keine, aber wenn Du hier mal weiterrechnest, dann findest Du, dass am Ende der Rechnung ein ">1" steht. Damit kannst Du linke 1 einfach weglassen, und hast das Nötige gezeigt.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 Do 09.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Hallo lord.garbage,
>
> > ich habe mich noch mal kundig gemacht (also mit unserem
> > Tutor gesprochen). Wir sollen das schon mit Induktion
> > machen. Allerdings scheint das wirklich nicht einfach
> zu
> > sein. Vor allem, meinte er, dass ich beim
> > Induktionsanfang:
> >
> > (2)
> >
> [mm](1+\bruch{1}{m})^m\le(1+\bruch{1}{m+1})\cdot{}(1+\bruch{1}{m+1})^{m}[/mm]
> >
> > durch die LINKE Seite teilen soll, damit ich mit dem
> > Hinweis (*) nach unten abschätzen kann. Ich frag mich
> nur,
> > was ich davon habe? Ich bin verwirrt. Kann das jemand
> > erklären?
>
> Einfach mal machen:
>
> [mm]1\le\bruch{m+2}{m+1}*\left(\bruch{m+2}{m+1}\right)^m*\left(\bruch{m}{m+1}\right)^m=\bruch{m+2}{m+1}*\left(\bruch{m(m+2)}{(m+1)^2}\right)^m=\bruch{m+2}{m+1}*\left(1-\bruch{1}{(m+1)^2}\right)^m=\cdots[/mm]
>
> Jetzt den Tipp anwenden (also die Bernoulliungleichung):
>
> [mm]\cdots\ge\bruch{m+2}{m+1}*\left(1-\bruch{m}{(m+1)^2}\right)=\bruch{m+2}{m+1}*\bruch{m^2+m+1}{(m+1)^2}=\bruch{(m+2)(m^2+m+1)}{(m+1)^3}=\cdots[/mm]
>
> Die Ungleichungskette ist keine, aber wenn Du hier mal
> weiterrechnest, dann findest Du, dass am Ende der Rechnung
> ein ">1" steht. Damit kannst Du linke 1 einfach weglassen,
> und hast das Nötige gezeigt.
Den letzten Abschnitt kapier' ich nicht, vor allem den letzten Satz kapier'
ich nicht ^^
Die Logik ist (für mich) einfach die:
Um [mm] $(1+\tfrac{1}{m})^m \red{\;<\;} (1+\tfrac{1}{m+1})^{m+1}$ [/mm] einzusehen, reicht es,
da die linke Seite $> [mm] 0\,$ [/mm] ist, die Ungleichung
[mm] $$\frac{(1+\tfrac{1}{m+1})^{m+1}}{(1+\tfrac{1}{m})^{m}}>1\,$$
[/mm]
zu beweisen.
Dazu rechnet man - so, wie Du es oben getan hast - aus und schätzt ab:
[mm] $$\frac{(1+\tfrac{1}{m+1})^{m+1}}{(1+\tfrac{1}{m})^{m}}=... \ge ...=\bruch{(m+2)(m^2+m+1)}{(m+1)^3}$$
[/mm]
Wenn man jetzt den letzten Bruch noch ein wenig umschreibt, hat er die
Form [mm] $1+\epsilon$ [/mm] mit einem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ und man kann insgesamt "das Gewünschte" - also
mit [mm] $>1\,$ [/mm] - abschätzen.
Was ich bei Dir "total verwirrend" finde, ist vor allem, sowas zu sehen:
$$1 [mm] \le [/mm] blabla [mm] \ge [/mm] blablub > 1$$
Das finde ich 'didaktisch gewagt'!  (Auch, wenn Du es sicher genau so meinst,
wie ich es ergänzt habe!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Do 09.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> ich habe mich noch mal kundig gemacht (also mit unserem
> Tutor gesprochen). Wir sollen das schon mit Induktion
> machen. Allerdings scheint das wirklich nicht einfach zu
> sein. Vor allem, meinte er, dass ich beim
> Induktionsanfang:
>
> (2)
> [mm](1+\bruch{1}{m})^m\le(1+\bruch{1}{m+1})\cdot{}(1+\bruch{1}{m+1})^{m}[/mm]
>
> durch die LINKE Seite teilen soll, damit ich mit dem
> Hinweis (*) nach unten abschätzen kann. Ich frag mich nur,
> was ich davon habe? Ich bin verwirrt. Kann das jemand
> erklären?
das ist doch genau das, was im Beweis steht, wenn man zeigt, dass
[mm] ${((1+\tfrac{1}{n})^n)}_n$ [/mm] streng wächst.
Du kannst das alles auch in einen Induktionsbeweis verpacken:
Den Induktionsanfang machst Du genau so, wie man zeigt, dass diese
Folge streng wächst. Insbesondere schreibst Du, dass daraus
[mm] $$a_{\ell+1} [/mm] > [mm] a_\ell \text{ für \red{alle} }\ell \in \IN$$
[/mm]
folgt. (Denn das [mm] $m\,$ [/mm] beim Induktionsanfang war beliebig!)
Im Induktionsschritt $n [mm] \to [/mm] n+1$ - das [mm] $m\,$ [/mm] war zuvor fest gewählt - rechnest
Du dann einfach:
Gelte [mm] $a_n [/mm] > [mm] a_m$ [/mm] für $n > [mm] m\,.$ [/mm] Da wir bereits [mm] $a_{\ell+1} [/mm] > [mm] a_\ell$ [/mm] für alle
[mm] $\ell$ [/mm] wissen, gilt insbesondere [mm] $a_{n+1} [/mm] > [mm] a_n\,.$
[/mm]
Also folgt (nach I.V. ist ja [mm] $a_n [/mm] > [mm] a_m$)
[/mm]
[mm] $$a_{n+1} [/mm] > [mm] a_n [/mm] > [mm] a_m$$
[/mm]
und damit
[mm] $$a_{n+1} [/mm] > [mm] a_m\,.$$
[/mm]
Das ist toll, dass Euer Tutor zu Euch sagt, dass ihr schon einen
Induktionsbeweis machen solltet. Aber für die Aussage [mm] $a_{n} [/mm] > [mm] a_m$ [/mm] für alle $n > [mm] m\,$ [/mm]
ist das hier reine Formsache, wenn man das andere weiß.
Man kann das Zeug auch so rechnen:
Da alle [mm] $a_n [/mm] > 0$ sind, gilt für $n > [mm] m\,$
[/mm]
[mm] $$\frac{a_n}{a_m}=\produkt_{k=1}^{n-m}\frac{a_{m+k}}{a_{m+k-1}} [/mm] > [mm] \produkt_{k=1}^{n-m}1=1\,.$$
[/mm]
(Hier nutze ich dann auch wieder das, was ich oben schonmal geschrieben
habe: [mm] $a_{\ell+1}/a_\ell [/mm] > 1$ für alle [mm] $\ell\,.$)
[/mm]
Das sieht dann nicht induktiv aus, aber selbst das stimmt nicht ganz, je
nachdem, wie das Produktzeichen definiert wurde.
Wenn Euer Tutor ein bisschen drüber nachgedacht hätte, hätte er sagen
müssen:
Naja, für die Ungleichung [mm] $(1+\tfrac{1}{n})^n [/mm] < 3$ wollen wir auch jeden Fall
einen 'richtigen' Induktionsbeweis sehen, ohne, dass da eine neue Folge
ins Spiel gebracht wird.
Obiges ist, wie gesagt, reine Formsache, wenn Du das von mir Gesagte
verstanden hast und benutzt. Ich hab's sogar schon in Form eines
"Induktionsbeweises" jetzt umgeschrieben...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Do 09.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> ich habe mich noch mal kundig gemacht (also mit unserem
> Tutor gesprochen). Wir sollen das schon mit Induktion
> machen. Allerdings scheint das wirklich nicht einfach zu
> sein. Vor allem, meinte er, dass ich beim
> Induktionsanfang:
>
> (2)
> [mm](1+\bruch{1}{m})^m\red{\;\le\;}(1+\bruch{1}{m+1})\cdot{}(1+\bruch{1}{m+1})^{m}[/mm]
>
> durch die LINKE Seite teilen soll, damit ich mit dem
> Hinweis (*) nach unten abschätzen kann.
ich hab' das jetzt nicht durchgerechnet, aber wenn ich mich richtig
erinnere:
[mm] $$\iff (1+\tfrac{1}{m+1})*\left(\frac{\tfrac{m+2}{m+1}}{\tfrac{m+1}{m}}\right)^m=...=(1+\tfrac{1}{m+1})*(\tfrac{m^2+2m}{m^2+2m+^1})^m=(1+\tfrac{1}{m+1})*(1-\tfrac{1}{m^2+2m+^1})^m \red{\;\ge\;} [/mm] 1$$
sollte helfen!
P.S. Machen wir doch, im Sinne der Aufgabenstellung, aus dem [mm] $\le$ [/mm] bzw. [mm] $\ge$ [/mm] ein [mm] $<\,$ [/mm] bzw. [mm] $>\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mi 08.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Diophant,
> Hallo,
>
> > Man zeige: für je zwei natürliche Zahlen m, n gilt:
> >
> > [mm]m
> >
> > und es gilt: [mm](1+\bruch{1}{n}<3[/mm] für alle [mm]n\in\IN.[/mm]
> >
> > Dazu gibt es folgenden Tipp:
> > Betrachte die Aufgabe
> >
> > (*) [mm]\produkt_{i=1}^{n}(1+x_i)\ge 1+\summe_{i=1}^{n}x_i[/mm]
>
> >
> > mit [mm]x_i=-\bruch{1}{n^2}[/mm]
> > Hallo,
> >
> > ich bin das Ganze wie folgt angegangen. Der Beweis geht
> mit
> > Induktion (hab ich mit unserem Tutor besprochen), wenn
> man
> > als Induktionsanfang n=m+1 wählt und m beliebig
> lässt.
> >
> > Also:
> > IA: n=m+1
>
> Was soll denn das sein, ein Induktionsanfang? ne, ne, ne,
> ne, nee!
es ist wesentlich geschickter, wie er es angegangen war (wenn man hier
induktiv vorgehen will):
Für beliebiges $m [mm] \in \IN$ [/mm] führt man den Induktionsbeweis über alle
natürlichen $n [mm] \ge m+1\,.$ [/mm] Man braucht halt schlichtweg einfach keine
"Doppelinduktion" in diesem Sinne!
P.S. Mir wurde gleiches auch schonmal zugetragen: hier (klick!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Mi 08.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Man zeige: für je zwei natürliche Zahlen m, n gilt:
>
> [mm]m
>
> und es gilt: [mm](1+\bruch{1}{n}<3[/mm] für alle [mm]n\in\IN.[/mm]
>
> Dazu gibt es folgenden Tipp:
> Betrachte die Aufgabe
>
> (*) [mm]\produkt_{i=1}^{n}(1+x_i)\ge 1+\summe_{i=1}^{n}x_i[/mm]
>
> mit [mm]x_i=-\bruch{1}{n^2}[/mm]
ich gebe Dir einen anderen Tipp:
Die Folge [mm] ${((1\;+\;\tfrac{1}{n})^n)}_n$ [/mm] ist streng wachsend (den Beweis findest Du in ![[]](/images/popup.gif) Beispiel 5.13,
falls ihr das noch nicht bewiesen habt).
Daraus folgt sofort: $m < n [mm] \Rightarrow (1+\tfrac{1}{m})^m [/mm] < [mm] (1+\tfrac{1}{n})^n$!
[/mm]
(Hier braucht man also keine Induktion über zwei Variablen... und selbst,
wenn Du das per Induktion machen würdest:
Dann würdest Du ein $m [mm] \in \IN$ [/mm] hernehmen, und dann Induktion über alle
natürlichen $n > [mm] m\,$ [/mm] machen!)
Und die andere Ungleichung sollte wohl [mm] $(1+\tfrac{1}{n})^n [/mm] < [mm] 3\,$ [/mm] heißen.
Und dass durchweg [mm] $(1+\tfrac{1}{n})^n [/mm] < 3$ ist, bekommt man leicht raus, wenn man
nachweist, dass [mm] ${((1+\tfrac{1}{n})^{n+1})}_n$ [/mm] (streng) fallend ist...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:26 Mi 08.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Nebenbei:
> Dazu gibt es folgenden Tipp:
> Betrachte die Aufgabe
>
> (*) [mm]\produkt_{i=1}^{n}(1+x_i)\ge 1+\summe_{i=1}^{n}x_i[/mm]
>
> mit [mm]x_i=-\bruch{1}{n^2}[/mm]
in dieser Formulierung würde ich mal behaupten, dass Du diesen Tipp auch
beweisen muss (denn da steht: Betrachte die AUFGABE...).
P.S. Ich glaube doch, dass da [mm] $x_i=-1/n^2$ [/mm] gemeint war! Aber habt ihr diese
Ungleichung nicht in allgemeinerer Fassung irgendwo stehen (also welchen
Bedingungen müssen die [mm] $x_i$ [/mm] genügen, damit die Ungleichung stimmt)?
P.P.S. (*) findest Du im Heuser, Lehrbuch der Analysis I, Aufgabe 16 des
7. Kapitels
Am Besten leihst Du Dir das Buch auch mal aus, wenn ich mir Aufgabe hier
so angucke...
Gruß,
Marcel
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