Induktion einer Folge < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Folge [mm] {x_{n}} [/mm] n=1 bis [mm] \infty [/mm] sei definiert durch
0< [mm] x_{1}<1 [/mm] , [mm] x_{n+1}=x_{n}*(2- x_{n}) [/mm] , n E N
1. Zeige , dass 0< [mm] x_{n}\le [/mm] 1 für alle n E N |
Ich habe versucht das ganze mit Induktion zu zeigen:
1. Schritt: ich zeige das [mm] 0
Induktionsanfang n =1
Hier ist klar das dies zutrifft da 0< [mm] x_{1}
[/mm]
Induktionsannahme [mm] x_{n} [/mm] >0
Induktionsschritt n+1 : [mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] x_{n} [/mm] * (2 - [mm] x_{n} [/mm] )
da [mm] x_{n} [/mm] >0 kann man dann einfach schreiben [mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] x_{n} [/mm] * (2- [mm] x_{n} [/mm] ) > 0 ????
2. Schritt:
Jetzt für [mm] x_{n} \le [/mm] 1
Induktionsanfang für n= 1: ist klar da in der Aufgabenstellung steht das 0< [mm] x_{1}<1 [/mm]
Induktionsannahme für n : [mm] x_{n}\le [/mm] 1
Induktionsschritt für n+1 : [mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] x_{n} [/mm] * (2 - [mm] x_{n} [/mm] ) und hier dann wegen der Annahme [mm] x_{n} [/mm] mit 1 ersetzen und dann kommt raus [mm] x_{n+1} [/mm] = 1
Ist dieses Vorgehen so richtig oder hab ich einen Fehler gemacht ?
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Moin,
> Die Folge [mm]{x_{n}}[/mm] n=1 bis [mm]\infty[/mm] sei definiert durch
>
> 0< [mm]x_{1}<1[/mm] , [mm]x_{n+1}=x_{n}*(2- x_{n})[/mm] , n E N
>
> 1. Zeige , dass 0< [mm]x_{n}\le[/mm] 1 für alle n E N
> Ich habe versucht das ganze mit Induktion zu zeigen:
> 1. Schritt: ich zeige das [mm]0
>
> Induktionsanfang n =1
> Hier ist klar das dies zutrifft da 0< [mm]x_{1}[/mm]
>
> Induktionsannahme [mm]x_{n}[/mm] >0
>
> Induktionsschritt n+1 : [mm]x_{n+1}[/mm] = [mm]x_{n}[/mm] * (2 - [mm]x_{n}[/mm] )
>
> da [mm]x_{n}[/mm] >0 kann man dann einfach schreiben [mm]x_{n+1}[/mm] = [mm]x_{n}[/mm]
> * (2- [mm]x_{n}[/mm] ) > 0 ????
Nein, du brauchst auch noch eine obere Schranke für [mm] x_n, [/mm] sonst könnte es ja sein, dass [mm] 2-x_n [/mm] negativ wird. Deswegen die Behauptung nicht in zwei Induktionsbeweise zerlegen.
>
> 2. Schritt:
> Jetzt für [mm]x_{n} \le[/mm] 1
>
> Induktionsanfang für n= 1: ist klar da in der
> Aufgabenstellung steht das 0< [mm]x_{1}<1[/mm]
>
> Induktionsannahme für n : [mm]x_{n}\le[/mm] 1
>
> Induktionsschritt für n+1 : [mm]x_{n+1}[/mm] = [mm]x_{n}[/mm] * (2 - [mm]x_{n}[/mm] )
> und hier dann wegen der Annahme [mm]x_{n}[/mm] mit 1 ersetzen und
> dann kommt raus [mm]x_{n+1}[/mm] = 1
Da solltest du kurz begründen, warum beim Einsetzen von 1 tatsächlich der größte Wert rauskommt. (Tipp f(x)=x(2-x) nimmt bei x=1 das globale Maximum an)
Das ist das erste was du im 'gemeinsamen' Induktionsschritt zeigst (s.u.).
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>
> Ist dieses Vorgehen so richtig oder hab ich einen Fehler
> gemacht ?
>
Zeige am besten in einem Induktionsschritt [mm] n\Rightarrow(n+1):
[/mm]
Aus [mm] 0
Gruß
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Hi,
wie soll ich von 0< [mm] x_{n} \le [/mm] 1 zu 0< [mm] x_{n+1} \le [/mm] 1 kommen ?
Brauche da noch ein Denkanstoß :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:05 So 13.03.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo babak!
Das geht wir immer bei einem Induktionsbeweis: durch Anwendung der Induktionsvoraussetzung (hier: $0 \ < \ [mm] x_n [/mm] \ < \ 1$ ).
Gruß
Loddar
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Also den einzigen Weg den ich grad sehe wie ich ihn auch oben geschrieben habe ist :
Induktionsannahme : 0 < [mm] x_{n} \le [/mm] 1
Induktionsschritt für n+1:
[mm] x_{n+1}=\underbrace{ x_{n} }_{0 < x_{n} \le 1} [/mm] * ( [mm] \underbrace{ 2 - x_{n} }_{0 < x_{n} \le 1} [/mm] ) [mm] \le [/mm] 2 -1 = 1
Sieht das besser aus ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 So 13.03.2011 | | Autor: | abakus |
> Also den einzigen Weg den ich grad sehe wie ich ihn auch
> oben geschrieben habe ist :
> Induktionsannahme : 0 < [mm]x_{n} \le[/mm] 1
> Induktionsschritt für n+1:
> [mm]x_{n+1}=\underbrace{ x_{n} }_{0 < x_{n} \le 1}[/mm] * (
> [mm]\underbrace{ 2 - x_{n} }_{0 < x_{n} \le 1}[/mm] ) [mm]\le[/mm] 2 -1 = 1
>
> Sieht das besser aus ?
Nein. Das Produkt von zwei Zahlen, bei denen der eine Faktor zwischen 0 und 1 und der andere zwischen 1 und 2 liegt, könnte sowohl kleiner als 1 (Beispiel: 0,6*1,1) als auch größer als 1 (Beispiel 0,8*1,5) sein.
Hier könnte man nutzen, dass das arithmetische Mittel der beiden Zahlen [mm] x_n [/mm] und [mm] 2-x_n [/mm] genau 1 ist.
Du kannst also [mm] x_n [/mm] als [mm] 1-(1-x_n) [/mm] und [mm] 2-x_n [/mm] als [mm] 1+(1-x_n) [/mm] schreiben.
Was passiert bei der Multiplikation dieser beiden Terme?
Gruß Abakus
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[mm] x_{n}= [/mm] ( 1- ( 1- [mm] x_{n} [/mm] ) ) * ( 1+ ( 1- [mm] x_{n} [/mm] ) )
=1 + 1- [mm] x_{n} [/mm] - 1 + [mm] x_{n} [/mm] + ( 1- [mm] x_{n} )^{2}
[/mm]
=2+ [mm] x_{n}^{2} [/mm] - 2 * [mm] x_{n}
[/mm]
Soweit richtig ?
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> [mm]x_{n}=[/mm] ( 1- ( 1- [mm]x_{n}[/mm] ) ) * ( 1+ ( 1- [mm]x_{n}[/mm] ) )
> =1 + 1- [mm]x_{n}[/mm] - 1 + [mm]x_{n}[/mm] + ( 1- [mm]x_{n} )^{2}[/mm]
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> =2+ [mm]x_{n}^{2}[/mm] - 2 * [mm]x_{n}[/mm]
>
> Soweit richtig ?
Gemeint war [mm] \left(1-(1-x_n)\right)\left(1+(1-x_n)\right)=1-(1-x_n)^2\leq [/mm] 1
Die 3. binomische Formel.
LG
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