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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:22 Do 20.10.2016 | | Autor: | rubi |
Hallo zusammen,
ich bin auf der Suche nach einer Formel über natürliche Zahlen, die aber nicht für alle n funktioniert.
Fall 1:
Es funktioniert zwar der Induktionsschritt, aber es gibt keinen Induktionsanfang.
Fall 2:
Die Formel gilt für die ersten natürlichen Zahlen, aber ab einem bestimmten n nicht mehr (ich habe hier mal gehört, dass eine Formel geben soll, die bis ungefähr n = 40 funktioniert und danach nicht mehr).
Kann mir jemand für beide Fälle jeweils ein Beispiel liefern ?
Am schönsten wäre hier eine Art Summenformel.
Vielen Dank im voraus.
Grüße
Rubi
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:14 Fr 21.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo rubi!
> Fall 1:
> Es funktioniert zwar der Induktionsschritt, aber es gibt
> keinen Induktionsanfang.
Betrachte für jede natürliche Zahl n jeweils die Aussage "n=n+1".
Allgemeiner:
Nimm eine Formel deiner Wahl (z.B. eine Summenformel), die für alle natürlichen Zahlen eine wahre Gleichheit reeller Zahlen ausdrückt, und ergänze z.B. auf der rechten Seite ein "+1". Anstelle der 1 kannst du auch jede beliebige andere reelle Zahl außer der 0 nehmen.
Anderes Beispiel:
Betrachte für jede natürliche Zahl n jeweils die Aussage
"n ist der Nachfolger einer natürlichen Zahl, d.h. es existiert eine natürliche Zahl m mit $n=m+1$".
Wenn du lieber keinen Existenzquantor möchtest, kannst du das vorige Beispiel wie folgt abwandeln (ich nehme hier an, dass die 0 zu den natürlichen Zahlen zählt):
Betrachte für jede natürliche Zahl n jeweils die Aussage "n>0".
> Fall 2:
> Die Formel gilt für die ersten natürlichen Zahlen, aber
> ab einem bestimmten n nicht mehr (ich habe hier mal
> gehört, dass eine Formel geben soll, die bis ungefähr n =
> 40 funktioniert und danach nicht mehr).
Für eine Teilmenge [mm] $M\subseteq\IN$ [/mm] ist die Indikatorfunktion [mm] $1_M\colon\IN\to\IR$ [/mm] definiert durch
[mm] $1_M(n):=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n\in M \\ 0, & \mbox{sonst}\end{cases}$.
[/mm]
Sei nun speziell [mm] $M=\{1,2,3,\ldots,1.000.000\}$.
[/mm]
Dann gilt die Summenformel
[mm] $\sum_{i=1}^n 1_M(i)=n$
[/mm]
für alle [mm] $n=0,1,2,\ldots,1.000.000$, [/mm] aber nicht für $n>1.000.000$.
Anderes Beispiel:
Die Formel
[mm] $\produkt_{i=0}^{1.000.000}(n-i)=0$
[/mm]
gilt ebenfalls für [mm] $n=0,1,2,\ldots,1.000.000$, [/mm] aber nicht für $n>1.000.000$.
Viele Grüße
Tobias
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