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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Fr 02.05.2008 | | Autor: | vju |
| Aufgabe | | Zeige [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k²} [/mm] ist nach oben hin begrenzt. |
Hallo,
Ich stecke grade in der obrigen Aufgabe. Mir wurde jetzt der Lösungsansatz gemacht einfach zu behaupten.
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k²} \le [/mm] 100 - [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
Dies habe ich jetzt auch per Induktion bewiesen und es kommt auch hin. Meine Frage ist jetzt, wo kommen die 100 - [mm] \bruch{1}{n} [/mm] her, warum darf ich das denn einfach behaupten und die Gleichung so aufstellen?
Wäre echt super toll, wenn mir das jemand erklären könnte.
Liebe Grüße
~ Vju
Diese Frage habe ich in keinem anderem Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:28 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo vju!
Hier wurde ein großzügiger aber absolut willkürlicher Wert gewählt, der als obere Schranke für die Reihe gilt.
Denn in der Aufgabenstellung wurde ja nur gefragt / behauptet, dass die Reihe nach oben beschränkt sei (aber nicht welches die kleinste obere Schranke = Supremum).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Fr 02.05.2008 | | Autor: | vju |
Vielen Dank für die super schnelle Antwort Loddar.
Noch eine kleine Verständnisfrage. Darf ich wenn ich eine Beschränkung nach unten/oben zeigen muss immer einfach irgend ein Wert einfach her nehmen und das dann dafür beweisen?
Wie kommt man denn auf die Idee 100 - 1/n zu wählen und nicht 100?
(Ich weiß mit 100 würde die Induktion nicht klappen!). Aber ich wäre nie auf die Idee gekommen, da noch -1/n zu rechnen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Hoang84 |
Hallo Vju!
Wenn du deine Behauptung beweisen kannst, kannst du eigentlich fast alles machen.
Es handelt sich in deinem Beispiel um eine sehr bekannte Reihe, deren Grenzwert [mm] \bruch{\pi²}{6} [/mm] ist.
Das mit den x - [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ist einfach ein kleiner Trick, den man braucht für die Induktion. Man kann hier für x jeden Wert > 1 wählen.
Ich würde ihn mir gut Merken, weil man ihn für Summen oder Produkten relativ oft einsetzen kann!
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Die Idee könnte auf folgende Weise entstanden sein:
Die Zahlen [mm] \bruch{1}{k^2} [/mm] sind die Funktionswerte der Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{x^2} [/mm] für [mm] x\in \IN. [/mm] Man findet sie somit als Höhen unter dem Graphen von f im Abstand von jeweils 1. Statt nun
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k²} [/mm] *1 zu bilden, nimmt man ersatzweise mal [mm] \integral_{1}^{n}{f(x) dx} =\integral_{1}^{n}{\bruch{1}{x^2} dx} [/mm] und damit einen dicken Fehler in Kauf. Das Integral liefert den Wert [mm] 1-\bruch{1}{n}, [/mm] den Fehler versucht man dadurch zu korrigieren, dass man statt 1 vorsichtig 100 schreibt und dann mal per VI testet, ob es klappt. Und siehe da,...
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PS: Du hast vielleicht gemerkt, dass die 100 beim Induktionsschritt n --> n+1 keine Rolle spielt. Das bedeutet, dass Sie durch jede beliebige andere Zahl ersetzt werden kann, der Induktionsschritt bleibt dann richtig.
Allerdings muss die Behauptung auch für n=1 stimmen. Und dafür muss die 100 mindestens durch 2 ersetzt werden.
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