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Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:22 Do 27.09.2007
Autor: crooky

Aufgabe
Zeigen Sie, dass für alle n Element N im angegebenen Bereich gilt:
8 teilt [mm] (9^n)-1 [/mm]

hallo!
ich habe heute erst die induktion gelernt und deshalb nicht wirklich eine ahnung, wie ich diese aufgabe lösen soll.

als behauptung habe ich
[mm] [(9^n)-1]/8=x [/mm]     x Element N
aufgestellt.

allerdings bringt mir das für den beweis gar nichts, weil ich irgendwie eine zweite seite der gleichung (also nicht x) benötige.
dann habe ich versucht die folge rekursiv darzustellen, doch das hat nicht geklappt.

könnt ihr mir helfen? ich möchte jedoch keine komplettlösung, sondern nur eine kleine hilfe =)

dankeschön!


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Induktion: Induktionsschritt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:27 Do 27.09.2007
Autor: Loddar

Hallo crooky,

[willkommenmr] !!


Den Induktionsanfang mit $n \ = \ 1$ hast Du schon gemacht?

Im Induktionsschritt musst Du nun zeigen, dass auch [mm] $9^{n+1}-1$ [/mm] ein Vielfaches ist und dabei die Induktionsvoraussetzung [mm] $9^n-1 [/mm] \ = \ 8*k$ mit "verarbeiten".

Hier mal die ersten Schritte:

[mm] $$9^{n+1}-1 [/mm] \ = [mm] \9^n*9^1-1 [/mm] \ = \ [mm] 9*9^n-1 [/mm] \ = \ [mm] (8+1)*9^n-1 [/mm] \ = \ [mm] 8*9^n+\blue{9^n-1}$$ [/mm]
Kannst Du nun den letzten Schritt sehen? Was ist mit dem Term [mm] $8*9^n$ [/mm] , ist der durch $8_$ teilbar? Und was ist mit [mm] $9^n-1$ [/mm] ?


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:21 Do 27.09.2007
Autor: crooky

erstmal danke für die schnelle antwort!

aber ehrlich gesagt verstehe ich das immernoch nicht so ganz. ich habe auch noch keinen richtigen induktionsanfang glaube ich:

Behauptung:
[mm] 9^n-1=8x [/mm]

Induktionsanfang für n=1:
linke Seite: 8
rechte Seite: 8x ?

Induktionsschritt:
Annahme:         [mm] 9^k-1= [/mm] 8x
Behauptung:     [mm] 9^{k+1}-1=8*9^k+9^k-1 [/mm]
Beweis:             ???

Ich habe mir schon überlegt, ob ich in der gleichung [mm] 8*9^k+9^k-1 [/mm] das [mm] 9^k-1 [/mm] durch 8x ersetzen könnte, aber dann kommt das raus:
[mm] 8*9^k+8x [/mm] = [mm] 8*(9^k+x) [/mm]
und das bringt mich irgendwie auch nicht weiter...
Bezug
                        
Bezug
Induktion: nahe dran
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:36 Do 27.09.2007
Autor: Loddar

Hallo crooky!


Du bist doch schon nahe dran. Dein $x_$ ist hier eine beliebige natürliche Zahle; also $x \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IN$ [/mm] .



> Behauptung:
> [mm]9^n-1=8x[/mm]

[ok]

  
> Induktionsanfang für n=1:
> linke Seite: 8
> rechte Seite: 8x ?

[ok] Du kannst also für $n \ = \ 1$ den Term [mm] $9^n-1 [/mm] \ = \ [mm] 9^1-1 [/mm] \ = \ 8 \ = \  [mm] 8*\red{1}$ [/mm] als Vielfaches der $8_$ darstellen, da es ein natürliches $x_$ gibt!

  
> Induktionsschritt:
> Annahme:         [mm]9^k-1=[/mm] 8x

[ok]


> Behauptung:     [mm]9^{k+1}-1=8*9^k+9^k-1[/mm]

[notok] Das stimmt nicht: die Behauptung lautet, dass für $n+1_$ der Term [mm] $9^{n+1}-1$ [/mm] ebenfalls ein Vielfaches von $8_$ ist.


>  Beweis:             ???
>  
> Ich habe mir schon überlegt, ob ich in der gleichung
> [mm]8*9^k+9^k-1[/mm] das [mm]9^k-1[/mm] durch 8x ersetzen könnte,

[ok] Völlig richtig so!!


> aber dann kommt das raus:
> [mm]8*9^k+8x[/mm] = [mm]8*(9^k+x)[/mm]

Ist denn [mm] $9^k$ [/mm] eine natürliche Zahl? Und was ergibt die Summe von zwei natürlichen Zahlen? ... Wieder eine natürliche Zahl!

Also ist doch der Term [mm] $9^k+x$ [/mm] wiederum eine natürliche Zahl. Und das Produkt einer natürlichen Zahl mit der $8_$ ergibt was? ... Ein Vielfaches von $8_$ !


Gruß
Loddar

Bezug
                                
Bezug
Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:53 Do 27.09.2007
Autor: crooky

Vielen Dank!

Ich habe es verstanden und wie immer, sieht es danach ziemlich einfach aus ;-)
Bezug
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