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Die Aufgabe:
Gegeben seien positive reelle Zahlen [mm] a_{1},...,a_{n}. [/mm] Es gelte
[mm] a_{1}*a_{2} [/mm] > 1 , [mm] a_{2}*a_{3} [/mm] > 1 ,..., [mm] a_{n-1}*a_{n} [/mm] > 1 und
[mm] a_{n}*a_{1} [/mm] > 1.
Gilt dann notwenidigerweise [mm] \produkt_{i=1}^{n} a_{j}:=a_{1}*a_{2}*...*a_{n} [/mm] > 1? (Beweis oder Gegenbeispiel)
Hallo!
Meine Frage ist eigentlich nur, ob ich diese Aufgabe mit Induktion lösen kann. Induktionsanfang mit n=2 und dann Rest.
Gruß Jenny
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:17 Mi 27.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Liebe Jenny,
> Die Aufgabe:
> Gegeben seien positive reelle Zahlen [mm]a_{1},...,a_{n}.[/mm] Es
> gelte
>
> [mm]a_{1}*a_{2}[/mm] > 1 , [mm]a_{2}*a_{3}[/mm] > 1 ,..., [mm]a_{n-1}*a_{n}[/mm] > 1
> und
> [mm]a_{n}*a_{1}[/mm] > 1.
>
> Gilt dann notwenidigerweise [mm]\produkt_{i=1}^{n} a_{j}:=a_{1}*a_{2}*...*a_{n}[/mm]
> > 1? (Beweis oder Gegenbeispiel)
Nachdem ich zunächst die Bedingung [mm] $a_n*a_1>1$ [/mm] überlesen hatte, wollte ich dir ein Gegenbeispiel angeben. Leider ging es schief, weil in dem Gegenbeispiel eben [mm] $a_n*a_1<1$ [/mm] gegolten hätte! Gut, dass ich das noch bemerkt habe! 
Es ist aber klar:
Die Aussage über das Produkt gilt notwendigerweise. Ich würde dafür zwei Fälle betrachten (beachte hierbei, dass die [mm] $a_1,...,a_n$ [/mm] alle positiv sind):
1. Fall:
Ist $n$ gerade, so gilt doch sicherlich:
[m]\produkt_{j=1}^n{a_j}
=\underbrace{a_1*a_2}_{>1}*\underbrace{a_3*a_4}_{>1}*....*\underbrace{a_{n-1}*a_n}_{>1}[/m].
Und, was sagt uns das nun über das Produkt im Falle $n$ gerade?
(Du kannst natürlich auch mit $n=2$ anfangen und dann den Induktionsschritt $n [mm] \to [/mm] n+2$ durchführen; deswegen habe ich deine Frage mit Jein beantwortet.  )
2.Fall:
Ist $n$ ungerade, so muss [mm] $a_1 \ge [/mm] 1$ oder [mm] $a_n \ge [/mm] 1$ gelten.
(Denn: Wäre [mm] $a_1<1$ [/mm] und [mm] $a_n<1$, [/mm] so wäre auch [mm] $a_n*a_1<1$ [/mm] im Widerspruch zur Voraussetzung.)
Fall 2a):
Ist [mm] $a_1 \ge [/mm] 1$ (und $n$ ungerade), so gilt:
[m]\produkt_{j=1}^n{a_j}
=\underbrace{a_1}_{\ge 1}*\underbrace{a_2*a_3}_{>1}*\underbrace{a_4*a_5}_{>1}*....*\underbrace{a_{n-1}*a_n}_{>1}[/m]
Fall 2b):
Ist [mm] $a_n \ge [/mm] 1$ (und $n$ ungerade), so gilt:
[m]\produkt_{j=1}^n{a_j}
=\underbrace{a_1*a_2}_{>1}*\underbrace{a_3*a_4}_{>1}*....*\underbrace{a_{n-2}*a_{n-1}}_{>1}*\underbrace{a_n}_{\ge 1}[/m]
Was erkennt man dann an dem Produkt im Falle 2a) bzw. 2b) ?
Das ganze läßt sich aber bestimmt auch per Induktion hinschreiben für diese Fälle und dann jeweils mit dem Induktionsschritt $n [mm] \to [/mm] n+2$, also könnte man deine Frage auch mit "Ja" beantworten!
Ich habe jetzt nach einem Weg gesucht, das ganze per Induktion ohne Fallunterscheidung zu machen (und dann nur mit Induktionsschritt $n [mm] \to [/mm] n+1$); bisher sehe ich nicht, wie und ob das überhaupt geht. Aber so schlimm ist es ja auch nicht, das ganze in zwei Fälle (bzw. drei, weil der zweite Fall ja wieder in zwei Fälle zerlegt wird ) zu zerlegen.
Liebe Grüße,
Marcel
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