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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:34 Mi 06.06.2007 | | Autor: | Antiprofi |
| Aufgabe | Für c [mm] \in [/mm] R sei die Funktion [mm] f_{c} [/mm] : [mm] \IR \to \IR [/mm] gegeben durch [mm] f_{c}(x) [/mm] = [mm] (\bruch{1}{4}-cx^{2}) 1_{|-1,1|}(x), [/mm] x [mm] \in \IR
[/mm]
(a) Für welche c [mm] \in \IR [/mm] ist [mm] f_{c} [/mm] Dichte einer stetigen Zufallsvariablen?
(b) Bestimmen Sie jeweils Erwartungswert und Varianz der zugehörigen Zufallsvariablen für die entsprechend (a) zulässigen Werte von c.
(c) Für die entsprechend (a) zulässigen Werte c seien [mm] (\Omega;F; [/mm] P) ein Wahrscheinlichkeitsraum
und [mm] X_{c} [/mm] : [mm] \Omega \to [/mm] R stetige Zufallsvariable mit Dichte [mm] f_{c}. [/mm] Bestimmen Sie [mm] P(X_{c} \ge [/mm] 0.5). |
Hallo,
leider haben wir bei der Aufgabe keinen Ansatz, keine Idee, kein nix. Vielleicht kann uns ja jemand erstmal nen Hinweis geben, wie man zB a) löst und wir kommen dann weiter?!
Es grüßt,
Antiprofi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 Mi 06.06.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Antiprofi,
(a) eine Dichte [mm] $f_c$ [/mm] zeichnet sich durch zwei Eigenschaften aus:
(1) [mm] $f_c(x)\ge [/mm] 0$ fuer alle [mm] $x\in\IR$
[/mm]
(2) [mm] $\int_{-\infty}^{+\infty}f_c(x)\, [/mm] dx=1$
(b) Nachdem du festgestellt hast, welche [mm] $c\in\IR$ [/mm] eine Dichte
definieren, wird der Erwartungswert berechnet nach
[mm] $\mbox{E}[X_c]=\int_{-\infty}^{+\infty}xf_c(x)\, [/mm] dx$
Fuer die Varianz [mm] $\mbox{Var}[X_c]=\mbox{E}[(X_c-\mbox{E}[X_c])^2]$ [/mm] ist
die folgende Berechnungsmoeglichkeit bequem:
[mm] $\mbox{Var}[X_c]=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2f_c(x)\, dx-(\mbox{E}[X_c])^2$
[/mm]
(c) Berechne die Verteilungsfunktion [mm] $P(X_c\le x)=\int_{-\infty}^{x} f_c(t)\, [/mm] dt$.
Da [mm] $X_c$ [/mm] stetig verteilt ist, kannst du so rechnen: [mm] $P(X_c\ge 0.5)=1-P(X_c< 0.5)=1-P(X_c\le [/mm] 0.5)$.
Direkter ist natuerlich:
[mm] $P(X_c\ge 0.5)=\int_{0.5}^{+\infty} f_c(x)\, dx=\int_{0.5}^{1} f_c(x)\, [/mm] dx$
lg
Luis
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