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(Frage) überfällig  | | Datum: | 08:47 Do 17.11.2011 | | Autor: | hippias |
| Aufgabe | | Es sei $G$ eine endliche, aufloesbare Gruppe mit [mm] $\Phi(G)= [/mm] 1$ und sei [mm] $M\leq [/mm] G$ maximal. Dann gibt es zu jedem [mm] $U\leq [/mm] M$ ein [mm] $X\leq [/mm] G$ mit $|M:U|= |G:X|$. |
Ich sehe die Behauptung nur in Spezialfaellen ein (z.B. U= M, U=1), sehe jedoch nicht, wie ich das als Induktionsanfang nutzen koennte. Den einzigen Nutzen von [mm] $\Phi(G)=1$, [/mm] der mir hier sinnvoll erscheint, ist die Existenz einer maximalen Untergruppe, die nicht $U$ enthaelt, wenn $U>1$. Ich vermute auch stark, dass man die Existenz von Hall-Untergruppen benutzen muesste, aber ich weiss nicht richtig, wie.
Also: wie kann man die Behauptung zeigen?
Ich habe die Frage sonst nirgends im Internet gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:58 Fr 18.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Es sei [mm]G[/mm] eine endliche, aufloesbare Gruppe mit [mm]\Phi(G)= 1[/mm]
> und sei [mm]M\leq G[/mm] maximal. Dann gibt es zu jedem [mm]U\leq M[/mm] ein
> [mm]X\leq G[/mm] mit [mm]|M:U|= |G:X|[/mm].
was genau ist denn [mm] $\Phi(G)$?
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:44 So 20.11.2011 | | Autor: | hippias |
[mm] $\Phi(G)$ [/mm] ist der Durchschnitt aller maximalen Untergruppen der Gruppe $G$.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:26 Mo 21.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> [mm]\Phi(G)[/mm] ist der Durchschnitt aller maximalen Untergruppen
> der Gruppe [mm]G[/mm].
Hmm. Stimmt die Aufgabe ueberhaupt?
Was ist, wenn ich $G = [mm] A_4$ [/mm] nehme? Dann hat $G$ 12 Elemente und ist aufloesbar. Da $G$ keine Untergruppe der Ordnung 6 hat, muessen alle Untergruppen die Ordnungen 1, 2, 3, 4, 12 haben. Maximale Untergruppen haben also die Ordnung 3 und 4 (2 geht nicht wegen Sylow). Wenn man also den Schnitt aller maximalen Untergruppen nimmt, kann dieser nur Elemente der Ordnung 1 enthalten, womit [mm] $\Phi(G) [/mm] = 1$ ist.
Sei nun $M$ eine vierelementige Untergruppe von $G$. Diese ist maximal, und es gibt ein $U [mm] \le [/mm] M$ mit $|M:U| = 2$. Wenn die Aufgabe stimmen wuerde, muesste es ein $X [mm] \le [/mm] G$ mit $|G:X| = |M:U| = 2$ geben - was aber nicht geht, da $G$ keine Untergruppe der Ordnung 6 hat.
Oder habe ich etwas uebersehen?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:44 Mo 21.11.2011 | | Autor: | hippias |
Danke fuer das Gegenbeispiel! Es ist insofern beruhigend, als dass mir der Beweis dieser Behauptung schwergefallen ist, andererseits habe ich eben diese benutzt,um etwas anderes zu zeigen. Allerdings wuesste ich gerne, wie die Bedingungen abgeaendert werden muessten, damit die Schlussfolgerung stimmt, denn ich vermute da ist nur ein kleiner Fehler in der Formulierung. Beim ersten Lesen, hatte ich mich verlesen und wollte die Existenz einer Untergruppe, deren Ordnung gleich dem Index ist, nachweisen, aber das ist ja auch verkehrt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Sa 19.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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