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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Do 09.06.2005 | | Autor: | Edi1982 |
Hallo Leute!
Ich habe hier eine Aufgabe, an der ich schon seit ein paar Stunden sitze:
Sei I eine beliebige Indexmenge und [mm] (a_i)_{i \in I} [/mm] eine Familie von nicht-negativen Zahlen. Nehme an, es existiere eine Konstante c, so dass
[mm] \summe_{i \in J}^{} a_i \le [/mm] c [mm] \forall [/mm] J [mm] \subset [/mm] I , J endlich,
dann sind h.a. viele [mm] a_i \not= [/mm] 0.
Brauche unbedingt Hilfe.
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Hallo!
Mit "h.a." meinst du "höchstens abzählbar", oder?
Jedenfalls ist die Idee folgende:
Angenommen, es gibt überabzählbar viele [mm] $a_i\ne [/mm] 0$.
Setze [mm] $A_0:=(1;\infty),\ A_n:=\left(\bruch 1{n+1};\bruch 1n\right]$, $n\in\IN$.
[/mm]
Es gilt: [mm] $\bigcup\limits_{n\in\IN_0} A_n=\IR^+$.
[/mm]
Da das eine abzählbare Vereinigung ist, aber überabzählbar viele [mm] $a_i$ [/mm] in [mm] $\IR^+$ [/mm] liegen, muss es ein [mm] $n_0\in\IN_0$ [/mm] geben, so dass unendlich viele [mm] $a_i$ [/mm] in [mm] $A_{n_0}$ [/mm] liegen. Insbesondere liegen da auch mehr als [mm] $(n_0+1)*c$ [/mm] viele drin...
Kommst du damit weiter?
Gruß, banachella
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