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Index: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:41 Mi 28.10.2009
Autor: muesmues

Aufgabe
Zeigen Sie, dass jede Untergruppe H einer endlichen Gruppe G vom Index [G : H] = 2 normal in G ist.

Also ich habe folgendes schon gesammelt:

[G:H]=[G]/[H] = 2
Linksnebenklasse gH = {gh:h [mm] \in [/mm] H}
Die Linksnebenklassen sind ja das gleiche wie [G:H]. Also müssten wir ja zwei linksnebenklassen haben oder?

nomal heißt doch ghg^(-1) [mm] \in [/mm] H oder hier in G ?

So nun weiß ich nicht mehr weiter. kann mir jemand helfen?

Danke!

        
Bezug
Index: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:19 Mi 28.10.2009
Autor: felixf

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo!

> Zeigen Sie, dass jede Untergruppe H einer endlichen Gruppe
> G vom Index [G : H] = 2 normal in G ist.
>  Also ich habe folgendes schon gesammelt:
>  
> [G:H]=[G]/[H] = 2
>  Linksnebenklasse gH = {gh:h [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

H}

>  Die Linksnebenklassen sind ja das gleiche wie [G:H]. Also
> müssten wir ja zwei linksnebenklassen haben oder?

Genau.

> nomal heißt doch ghg^(-1) [mm]\in[/mm] H oder hier in G ?

Ja.

> So nun weiß ich nicht mehr weiter. kann mir jemand
> helfen?

Du musst zeigen, dass fuer jedes $g [mm] \in [/mm] G$ gilt $g H [mm] g^{-1} [/mm] = H$, oder anders: $g H = H g$.

Wenn $g [mm] \in [/mm] H$ ist, dann ist $g H = H = H g$. Sei also $g [mm] \not\in [/mm] H$. Dann ist $g H [mm] \neq [/mm] H [mm] \neq [/mm] H g$. Zeige nun $g H = G [mm] \setminus [/mm] H = H g$ (dies folgt aus $[G : H] = 2$).

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Index: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:49 Mi 28.10.2009
Autor: muesmues

" Sei also $ g [mm] \not\in [/mm] H $. Dann ist $ g H [mm] \neq [/mm] H [mm] \neq [/mm] H g $. Zeige nun $ g H = G [mm] \setminus [/mm] H = H g $ (dies folgt aus [G : H] = 2). "

dass gH = [G]/[H] ist weiß man ja, da [G:H] = gh (Linksnebenklasse).

Man muss nun zeigen dann,dass [G]/[H] = hg ist

richtig?

Danke!

Bezug
                        
Bezug
Index: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:09 Do 29.10.2009
Autor: felixf

Hallo!

> " Sei also [mm]g \not\in H [/mm]. Dann ist [mm]g H \neq H \neq H g [/mm].
> Zeige nun [mm]g H = G \setminus H = H g[/mm] (dies folgt aus [G : H]
> = 2). "
>  
> dass gH = [G]/[H] ist weiß man ja, da [G:H] = gh

Was soll $[G]/[H]$ sein?! Und was ist $h$ (du meinst $H$, nicht?)? Und wieso sollte $[G : H]$ ein Gruppenelement sein?

> (Linksnebenklasse).
>
> Man muss nun zeigen dann,dass [G]/[H] = hg ist
>  
> richtig?

Nein.

Du weisst:

1) Es gibt genau zwei Linksnebenklassen

2) Je zwei Linksnebenklassen sind disjunkt

3) Die Vereinigung ueber alle Linksnebenklassen ist die ganze Gruppe $G$

4) Du kannst in 1) bis 3) Linksnebenklassen durch Rechtsnebenklassen ersetzen, es gilt dann genauso

Anhand dessen solltest du jetzt $g H$ und $H g$ beschreiben koennen, naemlich als $G [mm] \setminus [/mm] H$ (falls $g [mm] \not\in [/mm] H$).

LG Felix


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