Implizites Differentieren < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 Mi 04.02.2009 | | Autor: | chappa |
| Aufgabe | Berechnen Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung der folgenden implizit gegebenen Funktionen [mm]z = z(x,y)[/mm] : an der Stelle [mm](x_0, y_0), z(x_0,y_0) = z_0[/mm]
[mm]x^2z^y - xyz + sin(x+y+z) = 1, (x_0,y_0,z_0) = (0, \frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4})[/mm] |
Hallo,
Ich schaffe es leider nicht, die genannte Fragestellung zu lösen. Ich weiß nicht, ob die Funktion an der stelle [mm](x_0,y_0,z_0)[/mm] nach z aufzulösen ist, und in weiterer Folge schaffe ich es nicht, z' an dieser Stelle zu bestimmen.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
![[]](/images/popup.gif) http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=387291
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> Berechnen Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung der
> folgenden implizit gegebenen Funktionen [mm]z = z(x,y)[/mm] : an der
> Stelle [mm](x_0, y_0), z(x_0,y_0) = z_0[/mm]
>
> [mm]x^2z^y - xyz + sin(x+y+z) = 1\,,\qquad (x_0,y_0,z_0) = (0, \frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4})[/mm]
>
> Hallo,
>
> Ich schaffe es leider nicht, die genannte Fragestellung zu
> lösen. Ich weiß nicht, ob die Funktion an der stelle
> [mm](x_0,y_0,z_0)[/mm] nach z aufzulösen ist,
Nein, das ist bei dieser Funktion ohnehin ein Ding
der Unmöglichkeit ! Man kann diese Aufgabe nur
durch implizites Ableiten lösen.
Zuerst schreiben wir die Gleichung etwas um:
$\ [mm] x^2 z^y [/mm] - xyz + sin(x+y+z)\ =\ 1$
$\ [mm] x^2*\left(e^{ln(z)}\right)^y-x*y*z(x,y)+sin(x+y+z(x,y))\ [/mm] =\ 1$
$\ [mm] x^2*\left(e^{y*ln(z(x,y))}\right)-y*x*z(x,y)+sin(x+y+z(x,y))\ [/mm] =\ 1$
Nun bilden wir einmal die partielle Ableitung nach x:
$\ [mm] 2x*\left(e^{y*ln(z(x,y))}\right)+x^2*\left(e^{y*ln(z(x,y))}\right)*y*\bruch{1}{z(x,y)}*\blue{\bruch{\partial{z(x,y)}}{\partial{x}}}-y*\left(1*z(x,y)+x*\blue{\bruch{\partial{z(x,y)}}{\partial{x}}}\right)+cos\left(x+y+z(x,y)\right)*\left(1+0+\blue{\bruch{\partial{z(x,y)}}{\partial{x}}}\right)=0$
[/mm]
Nun kann man die gegebenen Werte für [mm] x_o, y_o, z_o [/mm] einsetzen
und die Gleichung nach der gesuchten partiellen Ableitung
auflösen.
Gruß Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Mi 04.02.2009 | | Autor: | chappa |
Wenn ich jetzt [mm]\frac{\partial z(x,y)}{\partial x}[/mm] auf eine Seite bringe sieht das wie folgt aus:
[mm]\frac{\partial z(x,y)}{\partial x} = \frac{yz(x,y) - 2xz^y - cos(x+y+z)}{x^2yz(x,y)^{y-1} - xy + cos(x+y+z)}[/mm]
Setze ich nun [mm](x_0,y_0,z_0) = (0,\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4})[/mm] ein komme ich auf [mm]\frac{\partial z(x,y)}{\partial x}(x_0,y_0) = \frac{\frac{\pi^2}{16} - 0 - 0}{0 - 0 + 0}[/mm]. Die Division durch 0 bringt mich ja auf kein richtiges Ergebnis, was kann ich daraus schließen? Oder mache ich grundlegend etwas falsch?
mfg
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Hallo chappa,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Wenn ich jetzt [mm]\frac{\partial z(x,y)}{\partial x}[/mm] auf eine
> Seite bringe sieht das wie folgt aus:
>
> [mm]\frac{\partial z(x,y)}{\partial x} = \frac{yz(x,y) - 2xz^y - cos(x+y+z)}{x^2yz(x,y)^{y-1} - xy + cos(x+y+z)}[/mm]
>
> Setze ich nun [mm](x_0,y_0,z_0) = (0,\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4})[/mm]
> ein komme ich auf [mm]\frac{\partial z(x,y)}{\partial x}(x_0,y_0) = \frac{\frac{\pi^2}{16} - 0 - 0}{0 - 0 + 0}[/mm].
Besser ist hier erstmal
[mm]2xz^{y}-yz+\cos\left(x+y+z\right)+\left( \ x^2yz^{y-1} - xy + \cos\left(x+y+z\right) \ \right)*\bruch{\partial z}{\partial x}=0[/mm]
hinzuschreiben.
> Die Division durch 0 bringt mich ja auf kein richtiges
> Ergebnis, was kann ich daraus schließen? Oder mache ich
> grundlegend etwas falsch?
Es ist alles richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Nun, da [mm]x^2yz(x,y)^{y-1} - xy + cos(x+y+z)[/mm] an der Stelle [mm]\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)[/mm] verschwindet,
kann die Funktion [mm]z\left(x,y\right)[/mm] in einer Umgebung dieses Punktes nicht bestimmt werden.
>
> mfg
Gruß
MathePower
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