Implizite Funktionen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:27 Mi 22.07.2009 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe 1 | | Zeigen Sie, dass man die Gleichung y + 1 - cos y - xy = 0 in der Nähe von (0,0) in der Form y = g(x) nach y auflösbar ist. Berechnen Sie g'(0) |
| Aufgabe 2 | | Beweisen Sie mit HIlfe des Satzes über implizite Funktionen, dass man die quadratische Gleichung [mm] x^2 [/mm] + px + q = 0 für x [mm] \not= [/mm] -p/2 lokal nach x (als Funktion von p und q) auflösbar ist. |
| Aufgabe 3 | | Zeigen Sie, dass die Gleichung [mm] x^3 e^y [/mm] + 2xcos(xy) = 3 bei [mm] (x_0 [/mm] , [mm] y_0) [/mm] = (1,0) nach y auflösbar ist. Berechnen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen. |
Zu Aufgabe 1
f(x,y) = y + 1 - cos y - xy = 0
[mm] f_y(x,y) [/mm] = 1 + sin y - x
[mm] f_y(0,0) [/mm] = 1 [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] in der Nähe von (0,0) lokal nach y auflösbar.
g'(x) = - [mm] \bruch{f_x(x,g(x))}{f_y(x,g(y))} [/mm] = [mm] \bruch{g(x)}{1 + sin(g(x)) - x}
[/mm]
Wegen g(0) = 0 ist auch g'(0) = 0.
Frage: Müsste ich hier noch begründen, warum g(0) = 0 ist? Ich hab mir das leider in den Übungen angewöhnt, ohne es nachzuvollziehen.
Zu Aufgabe 2
f(x) = [mm] x^2 [/mm] + px + q = 0
[mm] f_x [/mm] = 2x + p = 0 [mm] \gdw [/mm] x = -p/2 [mm] \Rightarrow f_x \not= [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \not= [/mm] -p/2 [mm] \Rightarrow [/mm] lokal auflösbar nach x [mm] \not= [/mm] -p/2
Auflösung:
[mm] x^2 [/mm] + px + q = 0 [mm] \gdw x^2 [/mm] + px + [mm] \bruch{p^2}{4} [/mm] - [mm] \bruch{p^2}{4} [/mm] = -q [mm] \gdw [/mm] (x + [mm] \bruch{p}{2})^2 [/mm] = [mm] \bruch{p^2}{4} [/mm] - q [mm] \gdw [/mm] x = [mm] \bruch{-p}{2} \pm \wurzel{\bruch{p^2}{4} - q}
[/mm]
Zu Aufgabe 3
f(x,y) = [mm] x^3 e^y [/mm] + 2xcos(x,y) - 3 = 0
[mm] f_y [/mm] (x,y) = [mm] x^3 e^y [/mm] - [mm] 2x^2 [/mm] sin(xy)
[mm] f_y [/mm] (1,0) = 1 [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] in der Nähe von (1,0) nach y auflösbar
[mm] f_x [/mm] (x,y) = [mm] 3x^2 e^y [/mm] + 2cos(xy) - 2xysin(xy)
Steigung der Tangente:
g'(1) = - [mm] \bruch{f_x(1,0)}{f_y(1,0)} [/mm] = -5
Nun weiß ich aber nicht, wie ich hieraus im allgemeinen Fall die Gleichung der Tangente konstruiere. Die Lösung im Speziellen ist hier:
y = g(1) + g'(1)(x-1) = -5(x-1)
Frage: Woraus setzt sich diese Tangentengleichung hier zusammen? g'(1) ist die Steigung, das ist klar. Aber welche Rolle spielen g(1) und (x-1), außer der, eine Geradengleichung zu konstruieren? Ich vermute in g(1) eine Art Stützvektor...
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Schöne Grüße,
Maraq
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Hallo MaRaQ,
> Zeigen Sie, dass man die Gleichung y + 1 - cos y - xy = 0
> in der Nähe von (0,0) in der Form y = g(x) nach y
> auflösbar ist. Berechnen Sie g'(0)
> Beweisen Sie mit HIlfe des Satzes über implizite
> Funktionen, dass man die quadratische Gleichung [mm]x^2[/mm] + px +
> q = 0 für x [mm]\not=[/mm] -p/2 lokal nach x (als Funktion von p
> und q) auflösbar ist.
> Zeigen Sie, dass die Gleichung [mm]x^3 e^y[/mm] + 2xcos(xy) = 3 bei
> [mm](x_0[/mm] , [mm]y_0)[/mm] = (1,0) nach y auflösbar ist. Berechnen Sie
> die Gleichung der Tangente an den Graphen.
> Zu Aufgabe 1
>
> f(x,y) = y + 1 - cos y - xy = 0
> [mm]f_y(x,y)[/mm] = 1 + sin y - x
> [mm]f_y(0,0)[/mm] = 1 [mm]\not=[/mm] 0 [mm]\Rightarrow[/mm] in der Nähe von (0,0)
> lokal nach y auflösbar.
>
> g'(x) = - [mm]\bruch{f_x(x,g(x))}{f_y(x,g(y))}[/mm] = [mm]\bruch{g(x)}{1 + sin(g(x)) - x}[/mm]
>
> Wegen g(0) = 0 ist auch g'(0) = 0.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Frage: Müsste ich hier noch begründen, warum g(0) = 0
> ist? Ich hab mir das leider in den Übungen angewöhnt,
> ohne es nachzuvollziehen.
Nein, denn [mm]\left(0, \ 0\right)[/mm] ist ein Punkt von [mm]f\left(x,y\right)=0[/mm].
>
> Zu Aufgabe 2
>
> f(x) = [mm]x^2[/mm] + px + q = 0
> [mm]f_x[/mm] = 2x + p = 0 [mm]\gdw[/mm] x = -p/2 [mm]\Rightarrow f_x \not=[/mm] 0
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\not=[/mm] -p/2 [mm]\Rightarrow[/mm] lokal auflösbar nach x
> [mm]\not=[/mm] -p/2
>
> Auflösung:
> [mm]x^2[/mm] + px + q = 0 [mm]\gdw x^2[/mm] + px + [mm]\bruch{p^2}{4}[/mm] -
> [mm]\bruch{p^2}{4}[/mm] = -q [mm]\gdw[/mm] (x + [mm]\bruch{p}{2})^2[/mm] =
> [mm]\bruch{p^2}{4}[/mm] - q [mm]\gdw[/mm] x = [mm]\bruch{-p}{2} \pm \wurzel{\bruch{p^2}{4} - q}[/mm]
Die Auflösung ist hier nicht verlangt.
>
> Zu Aufgabe 3
>
> f(x,y) = [mm]x^3 e^y[/mm] + 2xcos(x,y) - 3 = 0
> [mm]f_y[/mm] (x,y) = [mm]x^3 e^y[/mm] - [mm]2x^2[/mm] sin(xy)
> [mm]f_y[/mm] (1,0) = 1 [mm]\not=[/mm] 0 [mm]\Rightarrow[/mm] in der Nähe von (1,0)
> nach y auflösbar
> [mm]f_x[/mm] (x,y) = [mm]3x^2 e^y[/mm] + 2cos(xy) - 2xysin(xy)
>
> Steigung der Tangente:
> g'(1) = - [mm]\bruch{f_x(1,0)}{f_y(1,0)}[/mm] = -5
>
> Nun weiß ich aber nicht, wie ich hieraus im allgemeinen
> Fall die Gleichung der Tangente konstruiere. Die Lösung im
> Speziellen ist hier:
> y = g(1) + g'(1)(x-1) = -5(x-1)
>
> Frage: Woraus setzt sich diese Tangentengleichung hier
> zusammen? g'(1) ist die Steigung, das ist klar. Aber welche
> Rolle spielen g(1) und (x-1), außer der, eine
> Geradengleichung zu konstruieren? Ich vermute in g(1) eine
> Art Stützvektor...
Der Punkt [mm]\left(1,0\right)[/mm] ist ein Punkt der Tangente.
Für einen weiteren Punkt [mm]\left(x,y\right)[/mm] gilt natürlich
[mm]\bruch{y-0}{x-1}=-5[/mm]
Daraus leitet sich die Tangentengleichung ab.
>
> ---
>
> Schöne Grüße,
>
> Maraq
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:01 Mi 22.07.2009 | | Autor: | MaRaQ |
Und schon wieder danke, MathePower.
Ich darf nicht alles aus der Schulzeit verdrängen.
(y - [mm] y_0) [/mm] = [mm] m(x-x_0) [/mm] als fundamentale Gradengleichung sollte man schon erkennen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Mi 22.07.2009 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | | Lösen Sie das Gleichungssystem [mm]x^2 y + xy^2 + t^2 - 1 = 0[/mm] und [mm]x^2 + y^2 - 2yt = 0[/mm] bei (x,y,t) = (-1,1,1) in der Form (x,y) = g(t) auf. Berechnen Sie g'(1). |
[mm]F(x,y,t) := (x^2 y + xy^2 + t^2 - 1 , x^2 + y^2 - 2yt)[/mm]
F(-1,1,1) = 0
[mm]J_F(x,y,t) = (J' , J'') = \pmat{2xy + y^2 & x^2 + 2xy & | & 2t \\2x & 2y-2t & | & -2y}
\Rightarrow J_F(-1,1,0) = \pmat{ -1 & -1 & | & 2 \\ -2 & 0 & | & -2}[/mm]
det J'(-1,1,1) = 0 - 2 = -2 [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] F ist in der Nähe von (-1,1,1) lokal nach x,y auflösbar
Satz über implizite Funktionen:
[mm]g'(1) = (J')^{-1} * J'' = \pmat{0 & -\bruch{1}{2} \\ -1 & \bruch{1}{2}} * \vektor{2\\-2} = \vektor{1\\-2}[/mm]
---
Wenn das richtig ist, kann ich denke ich zum nächsten Kapitel voranschreiten bei meiner Wiederholung - oder kennt jemand noch beliebte Klausuraufgaben zu diesem Thema?
Danke im Voraus und schöne Grüße,
Maraq
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Hallo MaRaQ,
> Lösen Sie das Gleichungssystem [mm]x^2 y + xy^2 + t^2 - 1 = 0[/mm]
> und [mm]x^2 + y^2 - 2yt = 0[/mm] bei (x,y,t) = (-1,1,1) in der Form
> (x,y) = g(t) auf. Berechnen Sie g'(1).
> [mm]F(x,y,t) := (x^2 y + xy^2 + t^2 - 1 , x^2 + y^2 - 2yt)[/mm]
>
> F(-1,1,1) = 0
>
> [mm]J_F(x,y,t) = (J' , J'') = \pmat{2xy + y^2 & x^2 + 2xy & | & 2t \\2x & 2y-2t & | & -2y}
\Rightarrow J_F(-1,1,0) = \pmat{ -1 & -1 & | & 2 \\ -2 & 0 & | & -2}[/mm]
Da hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen:
[mm]J_F(x,y,t) = (J' , J'') = \pmat{2xy + y^2 & x^2 + 2xy & | & \red{-}2t \\2x & 2y-2t & | & -2y}
\Rightarrow J_F(-1,1,0) = \pmat{ -1 & -1 & | & \red{-}2 \\ -2 & 0 & | & -2}[/mm]
>
> det J'(-1,1,1) = 0 - 2 = -2 [mm]\not=[/mm] 0 [mm]\Rightarrow[/mm] F ist in
> der Nähe von (-1,1,1) lokal nach x,y auflösbar
>
> Satz über implizite Funktionen:
> [mm]g'(1) = (J')^{-1} * J'' = \pmat{0 & -\bruch{1}{2} \\ -1 & \bruch{1}{2}} * \vektor{2\\-2} = \vektor{1\\-2}[/mm]
>
> ---
>
> Wenn das richtig ist, kann ich denke ich zum nächsten
> Kapitel voranschreiten bei meiner Wiederholung - oder kennt
> jemand noch beliebte Klausuraufgaben zu diesem Thema?
>
> Danke im Voraus und schöne Grüße,
>
> Maraq
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:09 Mi 22.07.2009 | | Autor: | MaRaQ |
Hallo MathePower,
> > [mm]F(x,y,t) := (x^2 y + xy^2 + t^2 - 1 , x^2 + y^2 - 2yt)[/mm]
>
> >
> > F(-1,1,1) = 0
> >
> > [mm]J_F(x,y,t) = (J' , J'') = \pmat{2xy + y^2 & x^2 + 2xy & | & 2t \\2x & 2y-2t & | & -2y}
\Rightarrow J_F(-1,1,0) = \pmat{ -1 & -1 & | & 2 \\ -2 & 0 & | & -2}[/mm]
>
>
> Da hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen:
>
> [mm]J_F(x,y,t) = (J' , J'') = \pmat{2xy + y^2 & x^2 + 2xy & | & \red{-}2t \\2x & 2y-2t & | & -2y}
\Rightarrow J_F(-1,1,0) = \pmat{ -1 & -1 & | & \red{-}2 \\ -2 & 0 & | & -2}[/mm]
>
Da kann/muss ich dir widersprechen. An der Stelle, an der du den Vorzeichenfehler vermutest, gilt ja:
[mm] (x^2 [/mm] y + [mm] xy^2 [/mm] + [mm] t^2 [/mm] - [mm] 1)_t [/mm] = 2t
Ich nehm an, du hast dich beim Vektor verschaut. 
Schöne Grüße,
Maraq
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Hallo MaRaQ,
> Hallo MathePower,
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> > > [mm]F(x,y,t) := (x^2 y + xy^2 + t^2 - 1 , x^2 + y^2 - 2yt)[/mm]
>
> >
> > >
> > > F(-1,1,1) = 0
> > >
> > > [mm]J_F(x,y,t) = (J' , J'') = \pmat{2xy + y^2 & x^2 + 2xy & | & 2t \\2x & 2y-2t & | & -2y}
\Rightarrow J_F(-1,1,0) = \pmat{ -1 & -1 & | & 2 \\ -2 & 0 & | & -2}[/mm]
>
> >
> >
> > Da hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen:
> >
> > [mm]J_F(x,y,t) = (J' , J'') = \pmat{2xy + y^2 & x^2 + 2xy & | & \red{-}2t \\2x & 2y-2t & | & -2y}
\Rightarrow J_F(-1,1,0) = \pmat{ -1 & -1 & | & \red{-}2 \\ -2 & 0 & | & -2}[/mm]
>
> >
>
> Da kann/muss ich dir widersprechen. An der Stelle, an der
> du den Vorzeichenfehler vermutest, gilt ja:
> [mm](x^2[/mm] y + [mm]xy^2[/mm] + [mm]t^2[/mm] - [mm]1)_t[/mm] = 2t
> Ich nehm an, du hast dich beim Vektor verschaut.
>
Nun, dann eben so:
[mm]\left(1\right) \ \bruch{d}{dt}\left(\ x^{2}\left(t\right) y\left(t\right) + x\left(t\right)y^{2}\left(t\right) \blue{+} t^{2} - 1 \right)=0[/mm]
[mm]\left(2\right) \ \bruch{d}{dt}\left(\ x^{2}\left(t\right) + y^{2}\left(t\right) \green{-} 2y\left(t\right)t\ \right)=0[/mm]
Aus (1) folgt:
[mm]2*x*\dot{x}*y+x^{2}*\dot{y}+\dot{x}*y^{2}+x*2*y*\dot{y}\blue{+}2*t=0[/mm]
woraus sich
[mm]\left(2*x*y+y^{2}\right)*\dot{x}+\left(x^{2}+2*x*y\right)*\dot{y}\blue{+}2t=0[/mm]
[mm]\gdw \left(2*x*y+y^{2}\right)*\dot{x}+\left(x^{2}+2*x*y\right)*\dot{y}=\blue{-}2t[/mm]
ergibt.
Aus (2) folgt
[mm]2*x*\dot{x}+2*y*\dot{y}-2*\dot{y}*t\green{-}2*y=0[/mm]
hieraus folgt
[mm]2*x*\dot{x}+2*y*\dot{y}-2*\dot{y}*t=\green{+}2y[/mm]
Somit ergibt sich
[mm]\pmat{ 2xy+y^{2} & x^{2}+2xy \\ 2x & 2y-2t} * \pmat{ \dot{x} \\ \dot{y} }= \pmat{\blue{-}2t \\ \green{+}2y}[/mm]
> Schöne Grüße,
>
> Maraq
Gruß
MathePower
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