Implizite Funktionen? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:54 Fr 14.09.2007 | | Autor: | dev-null |
| Aufgabe | 1) [mm]f: \IR^2 \to \IR^2[/mm] bijektiv, [mm]f(0) = 0[/mm], [mm]f[/mm] und [mm]f^{-1}[/mm] im Punkt 0 total differenzierbar.
[mm]Df(0) = \bruch{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}[/mm]
[mm]\varphi (x) = x \begin{bmatrix} e^x \\ e^x \end{bmatrix}[/mm] und [mm]h(x) = f^{-1}(\varphi (x))[/mm] für alle [mm]x \in \IR[/mm]
Berechnen Sie [mm]h'(0)[/mm].
2) [mm]f: \IR^3 \to \IR[/mm] sei im Punkt 0 total differenzierbar und [mm]f(0) = 5[/mm].
Sei [mm]\varphi(x) = (x, x^2, x^3), \phi(x) = (x^2, x, x^3)[/mm] und [mm]f(\varphi(x)) = f(\phi(x)) = 5[/mm] für alle [mm]x \in \IR[/mm].
Berechnen Sie [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(0)[/mm] und [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(0)[/mm]. |
Hallo.
Gerne würde ich einen Lösungsansatz zu den Aufgaben geben, aber leider habe ich absolut keine Ahnung wie ich hier vorgehen muss. Ich hoffe mal das es auch wirklich um implizite Funktionen geht:) Das einzige was ich zu dem Thema in meinen Unterlagen finde, ist ein Satz der sich auf den Fall [mm]\IR^2 \to \IR[/mm] beschränkt.
Meine Frage ist somit: Wie löse ich sowas systematisch?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Fr 14.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> 1) [mm]f: \IR \to \IR[/mm] bijektiv, [mm]f(0) = 0[/mm], [mm]f[/mm] und [mm]f^{-1}[/mm] im Punkt
> 0 total differenzierbar.
> [mm]Df(0) = \bruch{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}[/mm]
>
> [mm]\varphi (x) = x \begin{bmatrix} e^x \\ e^x \end{bmatrix}[/mm]
> und [mm]h(x) = f^{-1}(\varphi (x))[/mm] für alle [mm]x \in \IR[/mm]
>
> Berechnen Sie [mm]h'(0)[/mm].
> Meine Frage ist somit: Wie löse ich sowas systematisch?
Als Allererstes berechnest du [mm]h'(x)[/mm] mit der Kettenregel und setzt x=0 ein.
Dann wendest du den ![[]](/images/popup.gif) Satz über inverse Funktionen an.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Sa 15.09.2007 | | Autor: | dev-null |
Hi!
Ich glaube du hast mir sehr geholfen :D Vielen Dank!
f ist natürlich eine Funktion von [mm]\IR^2 \to \IR^2[/mm], das stimmt da oben leider nicht.
Meine Lösung:
[mm]h'(x) = Df^{-1}(\varphi(x)) * \varphi'(x)[/mm]
[mm]\varphi'(x) = (x + 1) \vektor{e^x \\ e^x}[/mm]
[mm]h'(0) = Df^{-1}(0) * \vektor{1 \\ 1}[/mm]
Nach "deinem" Satz folgt dann: [mm]Df^{-1}(0) = \bruch{1}{Df(0)}[/mm] da nach Vorausetzung gilt: [mm]f(0) = 0[/mm]. Richtig?
Also:
[mm]h'(0) = \pmat{ \wurzel{2} & -\wurzel{2} \\ \wurzel{2} & \wurzel{2} } * \vektor{1 \\ 1} = \vektor{-2 \\ 2}[/mm]
Wenn man den Satz kennt ist das natürlich eine ganz einfache Aufgabe. Leider habe ich den in meinen Unterlagen nirgends gefunden :(
Bleibt noch Aufgabe 2.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:45 Sa 15.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
> Wenn man den Satz kennt ist das natürlich eine ganz
> einfache Aufgabe. Leider habe ich den in meinen Unterlagen
> nirgends gefunden :(
Auch nicht unter "implizite Funktionen"?
> Bleibt noch Aufgabe 2.
Wende wieder die Kettenregel an (auf [mm]f(\varphi(x)) = f(\phi(x)) =5 \quad\forall x\in\IR[/mm])
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:43 Sa 15.09.2007 | | Autor: | dev-null |
> Auch nicht unter "implizite Funktionen"?
Nein, wir haben nur einen Satz zu dem Thema, der mich nicht wirklich weiterbringt. Zwar kennt man den Satz zur Ableitung mit der Umkehrfunktion aus dem eindimensionalen Fall, aber es war nicht davon die Rede, dass dies auch im mehrdimensionalen Fall gilt.
Leider bringt mich die Kettenregel bei der Aufgabe 2 auch nicht weiter:(
Vermutlich habe ich nur gerade ein Brett vorm Kopf - wenn du mir da noch auf die Sprünge helfen magst, gerne. Ansonsten ist diese Aufgabe aber auch nicht "lebenswichtig" für mich.
Nochmal vielen Dank für deine Mühe:)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:08 Sa 15.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
rechne doch einfach mal die Ableitung von [mm]f(\varphi(x))[/mm] nach x aus.
Was folgt aus der Aussage [mm]f(\varphi(x))=5[/mm] [mm]\forall x\in\IR[/mm]?
Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:40 So 16.09.2007 | | Autor: | dev-null |
Also das Ableiten an sich ist ja kein Problem und ich bekomme raus, dass gilt:
[mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(0) = (f \circ \varphi)'(0)[/mm]
[mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(0) = (f \circ \phi)'(0)[/mm]
Aber dann weiß ich nicht weiter, da ich [mm]Df(0)[/mm] nicht kenne. Es wird was mit der 5 zu tun haben, aber ich komme nicht darauf:|
Es gäbe doch theoretisch auch die Möglichkeit das f konstant 5 ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:59 So 16.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Also das Ableiten an sich ist ja kein Problem und ich
> bekomme raus, dass gilt:
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(0) = (f \circ \varphi)'(0)[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(0) = (f \circ \phi)'(0)[/mm]
Was folgt aus [mm]f\circ \varphi \equiv 5[/mm] für die totale Ableitung [mm](f \circ \varphi)'[/mm]?
[mm]\bruch{d(f\circ \varphi)}{dx} = 0 \quad \forall x\in\IR[/mm]
Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:27 So 16.09.2007 | | Autor: | dev-null |
Jetzt ist der Groschen gefallen! Natürlich, ganz klar :D
Vielen Dank Rainer!
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