Implizite Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:47 Do 06.06.2013 | | Autor: | lisa2802 |
Hallöchen,
im Zuge der Vorbereitung für meine Modulprüfung muss ich mich auch mit dem "Satz über implizite Funktionen" beschäftigen.
meine 1. Frage ist was genau ist "lokal auflösbar"? Das haben wir irgendwie nie definiert aber es wurde immer wieder genannt.
und 2. versteh ich den Satz glaube ich überhaupt nicht :/
unser Defintion des Satzes :
Seien U [mm] \subset \IR^k, V\subset \IR^m [/mm] offen,
[mm] a=(a_1,....,a_k) \in [/mm] U, [mm] b=(b_1,...,b_n) \in [/mm] V und
f: U [mm] \times [/mm] V [mm] \to \IR^m, (x_1,...,x_k,y_1,...,y_m) \mapsto f(x_1,...,x_k,y_1,...,y_m) [/mm] mit [mm] f=(f_1,...,f_m)^T, [/mm] stetig partiell diff'baren [mm] f_i [/mm] (1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] m), und
f(a,b)=0
und
[mm] det(D_y [/mm] f(a,b) = det [mm] [\bruch{\partial(f_1,...,f_m)}{\partial(y_1,...,y_m}|_{a,b}] \not= [/mm] 0
Dann existiert r,p > 0 mit [mm] U_1=U_{p}(a) \subset [/mm] U, [mm] V_1=U_{r}(b) \subset [/mm] V sowie eine stetige Funktion
g : [mm] U_1 \to V_1 [/mm] , [mm] x\mapsto (g_{1}(x),...,g_{m}(x))^T
[/mm]
mit
g(a)=b
und
f(x,g(x))=0 für alle x [mm] \in U_1
[/mm]
Ferner sind [mm] g_{1},...,g_{m} [/mm] in einer Kugel [mm] U_{p1}(a), [/mm] 0 < [mm] p_1 \le [/mm] p, stetig partiell diff'bar mit
[mm] Dg(x)=-(D_y f(x,g(x)))^{-1} D_x [/mm] f(x,g(x)) für alle x [mm] \in U_{pi}(a)
[/mm]
[mm] \gdw\underbrace{(D_j g_i (x))}_{1\le i \le m, 1 \le j \le k} \underbrace{-(D_{k+j} f_i (x,g(x)))^{-1}}_{1\le i \le m, 1\le j \le m} \underbrace{D_j f_i (x,g(x))}_{1\le i \le m, 1 \le j \le k} [/mm]
g kennt man nicht genau oder und kann g' trotzdem "bestimmen" durch die partiellen Ableitungen von f(x,g(x)), aber dafür muss das irgendwie "lokal auflösbar sein" oder?
Gibt es diesen Satz auch in einer einfacheren aber dennoch korrekten Version?
bitte bitte versucht mir zu helfen ich verstehe nämlich inzwischen gar nichts mehr :(
Danke
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Hallo Lisa,
ich kann leider derzeit nicht so ausführlich dir diese Frage beantworten. Im Grunde ist der Sinn und Zweck des Theorems (ja, man kann den Satz in der Tat als Theorem ansehen), keinerlei schwierig.
Folgende Situation sollte dir klar sein: Angenommen du hast eine Funktion [mm] f:\IR^n\to\IR, (x_1,x_2,...,x_n)\mapsto{}f(x_1,x_2,...,x_n). [/mm] Diese kann in der Regel sehr kompliziert aussehen. Der Satz über die lokale Auflösbarkeit sagt dir nichts anderes als, dass es eine eindeutige Funktion gibt, um die Funktion f nach einer der Variablen aufzulösen.
Einfacher Fall: f(x)=y=3x+1
Frage ist also: Kannst du diese Funktion eindeutig auflösen, also eine Darstellung x(y) erhalten? Die Antwort liegt auf der Hand!
Etwas komplizierter:
Wir betrachten die Kreisgleichung [mm] f(x,y)=x^2+y^2-1.
[/mm]
Ist diese Funktion eindeutig! nach y auflösbar?
Schauen wir uns die Kreisgleichung [mm] x^2+y^2=1 [/mm] genauer an. Wir versuchen mal nach y aufzulösen:
[mm] y^2=1-x^2 [/mm] => [mm] y=\pm\sqrt{1-x^2}
[/mm]
Und hier knallts! Bei x=0 ist also nicht klar. Also offensichtlich ist das ganze nicht eindeutig auflösbar. Die Kritereien in deinem formulierten Theorem zeigen dies. (Stichwort: Funktionaldeterminante)
Dabei ist es aber so, dass man in der Regel trotz aller Mühen keine (!) analytische Möglichkeit hat, um die Funktion tatsächlich aufzulösen. In der Regel, und das kennen wir von FOlgen und Reihen, interessiert das den Mathematiker aber auch nicht.
Wenn du willst, kann ich heute Abend noch einmal ein paar Aufgaben hier reinstellen. Da kannst du versuchen zu ergründen, ob die Funktion auflösbar ist oder nicht.
P.S. ja, es gibt einfache Formulierungen des Satzes. Ich hatte damals eine sehr vernünftige Formulierung bekommen.
Eine gute Formulierung findest du hier auf Seite 31:
http://www.uni-magdeburg.de/anp/vorlesungen/08/integraltransformationen/analysis-full_schmuedgen.pdf
Das Theorem ist nicht schwer zu verstehen, aber die Formulierung sich einzuprägen ist umso schwieriger ;)
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