Identitätssatz für offene Meng < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie den Identitätssatz für offene Mengen:
[mm] \Omega \subset \IC [/mm] Gebiet, f [mm] \in [/mm] Hol [mm] (\Omega,\IC). [/mm] Ist U [mm] \subset \Omega [/mm] für [mm] f|_{U} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] f = 0 |
Der Beweis wurde folgendermaßen in der Vorlesung bewiesen (in Kursiv stehen meine Fragen):
Es sei [mm] \Omega_0:= \{z \in \Omega | \exists r_z > 0 mit f|_{\Delta_{r_{z}}} = 0 \}
[/mm]
Behauptung: [mm] \Omega [/mm] \ [mm] \Omega_0 [/mm] ist offen in [mm] \Omega.
[/mm]
ALso [mm] \Omega_0 [/mm] ist abgeschlossen in [mm] \Omega? [/mm]
Wenn dies dies nicht der Fall ist, dann [mm] \exists [/mm] p [mm] \in \Omega [/mm] \ [mm] \Omega_0 [/mm] so dass für jedes r>0 gilt: [mm] \Delta_{r(p)} \cap \Omega_0 \not= \emptyset
[/mm]
Dies verstehe ich nicht ganz. Der Schnitt der offenen Kriesscheibe um p mit [mm] \Omega_0 [/mm] ist nicht leer weil [mm] \Omega_0 [/mm] nicht abgeschlossen ist?
Wähle [mm] r_{n} [/mm] > 0 mit [mm] r_{n} \to [/mm] 0, [mm] r_n \le r_{n+1} [/mm] und [mm] z_{n} \in \Delta_{r(p)} \cap \Omega_0 [/mm] . Dann gilt [mm] z_{n} \to [/mm] p und wir können annehmen: [mm] f(z)=\summe_{k=0}^{\infty}a_k (z-p)^k [/mm] für alle z \ in [mm] \Delta_{r_1(p)} [/mm]
Hier wird die Holomorphie von f ausgenutzt?
Dann benutzt der Beweis einmal, dass für eine in in offenen Kreisscheibe um [mm] z_0 [/mm] konvergentzen Potenzreihe gilt: [mm] a_n=\bruch{p^{n}(z_0)}{n!} [/mm] und dass zwei Potenzreihen gleichsind wenn die Koeffizienten gleich sind.
Für unser f folgt: [mm] a_k=\bruch{1}{k!}\bruch{\delta^k{}f}{\delta z^k} [/mm] (p)= [mm] \limes_{n\rightarrow0} \bruch{1}{k!}\bruch{\delta^k{}f}{\delta z^k} (z_n)=0
[/mm]
Hier verstehe ich nicht warum [mm] \bruch{\delta^k{}f}{\delta z^k} (z_n) [/mm] im limes 0 ist? Weil die Taylorreihe gegen 0 konvergiert?
Und damit ist [mm] f|_{\Delta_{r_1}(p)}=0 [/mm] und p [mm] \in \Omega_0 [/mm] W!
Was für ein Widerspruch wurde hier gezeigt,könnte mir das jemand erläutern?
Also [mm] \Omega_0=\Omega [/mm] und f=0 in [mm] \Omega
[/mm]
Wir haben gezeigt dass wenn auf einer EInshcränkung f=0 ist dann ist f auf ganz [mm] \Omega [/mm] = 0, damit Satz bewiesen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:14 Sa 18.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
> Beweisen Sie den Identitätssatz für offene Mengen:
> [mm]\Omega \subset \IC[/mm] Gebiet, f [mm]\in[/mm] Hol [mm](\Omega,\IC).[/mm] Ist U
> [mm]\subset \Omega[/mm] für [mm]f|_{U}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] f = 0
> Der Beweis wurde folgendermaßen in der Vorlesung bewiesen
> (in Kursiv stehen meine Fragen):
>
> Es sei [mm]\Omega_0:= \{z \in \Omega | \exists r_z > 0 mit f|_{\Delta_{r_{z}}} = 0 \}[/mm]
>
> Behauptung: [mm]\Omega[/mm] \ [mm]\Omega_0[/mm] ist offen in [mm]\Omega.[/mm]
> ALso [mm]\Omega_0[/mm] ist abgeschlossen in [mm]\Omega?[/mm]
>
Das stimmt zwar, aber darauf wollte Herr Heinzner nicht heraus. ;) Dass [mm] $\Omega_0$ [/mm] offen in [mm] \Omega [/mm] ist, ist äquivalent dazu, dass [mm] \Omega_0=\Omega [/mm] ist. Daraus wird der ganze Beweis hinauslaufen. Die Äquivalenz kannst du zeigen, wenn du beachtest, dass [mm] \Omega [/mm] zusammenhängend ist und dass du [mm] \Omega=\Omega\backslash \Omega_0 \cup \Omega_0 [/mm] ist.
Nun kommt die Annahme, dass [mm] \Omega_0 [/mm] nicht offen in [mm] \Omega [/mm] ist, d.h. [mm] \Omega_0\not=\Omega.
[/mm]
> Wenn dies dies nicht der Fall ist, dann [mm]\exists[/mm] p [mm]\in \Omega[/mm]
> \ [mm]\Omega_0[/mm] so dass für jedes r>0 gilt: [mm]\Delta_{r(p)} \cap \Omega_0 \not= \emptyset[/mm]
>
> Dies verstehe ich nicht ganz. Der Schnitt der offenen
> Kriesscheibe um p mit [mm]\Omega_0[/mm] ist nicht leer weil [mm]\Omega_0[/mm]
> nicht abgeschlossen ist?
>
Beachte die Abgeschlossenheit nicht mehr. Weil $p [mm] \in \Omega\backslash \Omega_0$ [/mm] und diese Menge nicht offen ist, existiert keine offene Umgebung von p, die noch ganz in [mm] \Omega\backslash \Omega_0 [/mm] liegt. Daher ragt jede Kreisscheibe um p immer in [mm] \Omega_0 [/mm] rein.
> Wähle [mm]r_{n}[/mm] > 0 mit [mm]r_{n} \to[/mm] 0, [mm]r_n \le r_{n+1}[/mm] und [mm]z_{n} \in \Delta_{r(p)} \cap \Omega_0[/mm]
> . Dann gilt [mm]z_{n} \to[/mm] p und wir können annehmen:
> [mm]f(z)=\summe_{k=0}^{\infty}a_k (z-p)^k[/mm] für alle z \ in
> [mm]\Delta_{r_1(p)}[/mm]
> Hier wird die Holomorphie von f ausgenutzt?
>
Genau.
> Dann benutzt der Beweis einmal, dass für eine in in
> offenen Kreisscheibe um [mm]z_0[/mm] konvergentzen Potenzreihe gilt:
> [mm]a_n=\bruch{p^{n}(z_0)}{n!}[/mm] und dass zwei Potenzreihen
> gleichsind wenn die Koeffizienten gleich sind.
>
> Für unser f folgt:
> [mm]a_k=\bruch{1}{k!}\bruch{\delta^k{}f}{\delta z^k}[/mm] (p)=
> [mm]\limes_{n\rightarrow0} \bruch{1}{k!}\bruch{\delta^k{}f}{\delta z^k} (z_n)=0[/mm]
>
> Hier verstehe ich nicht warum [mm]\bruch{\delta^k{}f}{\delta z^k} (z_n)[/mm]
> im limes 0 ist? Weil die Taylorreihe gegen 0 konvergiert?
>
Der Limes ist 0, weil jedes einzelne Folgenglied 0 ist. Denn die [mm] z_n [/mm] liegen ja alle in [mm] \Omega_0 [/mm] und auf dieser Menge ist f konstant 0.
> Und damit ist [mm]f|_{\Delta_{r_1}(p)}=0[/mm] und p [mm]\in \Omega_0[/mm] W!
> Was für ein Widerspruch wurde hier gezeigt,könnte mir
> das jemand erläutern?
Wir haben p am Anfang aus [mm] \Omega\backslash \Omega_0 [/mm] gewählt. Nun liegt p aber in [mm] \Omega_0!
[/mm]
> Also [mm]\Omega_0=\Omega[/mm] und f=0 in [mm]\Omega[/mm]
> Wir haben gezeigt dass wenn auf einer EInshcränkung f=0
> ist dann ist f auf ganz [mm]\Omega[/mm] = 0, damit Satz bewiesen?
Ja, am Ende haben wir [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \Omega_0$ [/mm] gezeigt und [mm] \Omega_0 [/mm] war ja die Menge, auf der sich f in die Nullreihe entwickeln lässt. Also lässt sich f auf ganz [mm] \Omega [/mm] in die Nullreihe entwickeln, d.h. f=0.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:25 So 19.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi!
>
> > Beweisen Sie den Identitätssatz für offene Mengen:
> > [mm]\Omega \subset \IC[/mm] Gebiet, f [mm]\in[/mm] Hol [mm](\Omega,\IC).[/mm] Ist
> U
> > [mm]\subset \Omega[/mm] für [mm]f|_{U}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] f = 0
> > Der Beweis wurde folgendermaßen in der Vorlesung
> bewiesen
> > (in Kursiv stehen meine Fragen):
> >
> > Es sei [mm]\Omega_0:= \{z \in \Omega | \exists r_z > 0 mit f|_{\Delta_{r_{z}}} = 0 \}[/mm]
>
> >
> > Behauptung: [mm]\Omega[/mm] \ [mm]\Omega_0[/mm] ist offen in [mm]\Omega.[/mm]
> > ALso [mm]\Omega_0[/mm] ist abgeschlossen in [mm]\Omega?[/mm]
> >
> Das stimmt zwar, aber darauf wollte Herr Heinzner nicht
> heraus. ;)
wer immer Herr Heinzner ist, aber er wollte sicher auf irgendwas hinaus.
> Dass [mm]\Omega_0[/mm] offen in [mm]\Omega[/mm] ist, ist
> äquivalent dazu, dass [mm]\Omega_0=\Omega[/mm] ist. Daraus wird der
> ganze Beweis hinauslaufen. Die Äquivalenz kannst du
> zeigen, wenn du beachtest, dass [mm]\Omega[/mm] zusammenhängend ist
> und dass
du
> [mm]\Omega=\Omega\backslash \Omega_0 \cup \Omega_0[/mm]
Da sollte man Klammern setzen. 
> ist.
>
> Nun kommt die Annahme, dass [mm]\Omega_0[/mm] nicht offen in [mm]\Omega[/mm]
> ist, d.h. [mm]\Omega_0\not=\Omega.[/mm]
>
> > Wenn dies dies nicht der Fall ist, dann [mm]\exists[/mm] p [mm]\in \Omega[/mm]
> > \ [mm]\Omega_0[/mm] so dass für jedes r>0 gilt: [mm]\Delta_{r(p)} \cap \Omega_0 \not= \emptyset[/mm]
>
> >
> > Dies verstehe ich nicht ganz. Der Schnitt der offenen
> > Kriesscheibe um p mit [mm]\Omega_0[/mm] ist nicht leer weil
> [mm]\Omega_0[/mm]
> > nicht abgeschlossen ist?
> >
> Beachte die Abgeschlossenheit nicht mehr. Weil [mm]p \in \Omega\backslash \Omega_0[/mm]
> und diese Menge nicht offen ist, existiert keine offene
> Umgebung von p, die noch ganz in [mm]\Omega\backslash \Omega_0[/mm]
> liegt. Daher ragt jede Kreisscheibe um p immer in [mm]\Omega_0[/mm]
> rein.
>
> > Wähle [mm]r_{n}[/mm] > 0 mit [mm]r_{n} \to[/mm] 0, [mm]r_n \le r_{n+1}[/mm] und [mm]z_{n} \in \Delta_{r(p)} \cap \Omega_0[/mm]
> > . Dann gilt [mm]z_{n} \to[/mm] p und wir können annehmen:
> > [mm]f(z)=\summe_{k=0}^{\infty}a_k (z-p)^k[/mm] für alle z \ in
> > [mm]\Delta_{r_1(p)}[/mm]
> > Hier wird die Holomorphie von f ausgenutzt?
> >
> Genau.
>
> > Dann benutzt der Beweis einmal, dass für eine in in
> > offenen Kreisscheibe um [mm]z_0[/mm] konvergentzen Potenzreihe gilt:
> > [mm]a_n=\bruch{p^{n}(z_0)}{n!}[/mm] und dass zwei Potenzreihen
> > gleichsind wenn die Koeffizienten gleich sind.
> >
> > Für unser f folgt:
> > [mm]a_k=\bruch{1}{k!}\bruch{\delta^k{}f}{\delta z^k}[/mm] (p)=
> > [mm]\limes_{n\rightarrow0} \bruch{1}{k!}\bruch{\delta^k{}f}{\delta z^k} (z_n)=0[/mm]
Das war der eigentliche Grund, warum ich hier nochmal was sagen sollte:
Man sollte anstatt [mm] $\bruch{\delta^k{}f}{\delta z^k}$ [/mm] doch eher
[mm] $$\bruch{d^k{\,}f}{d\, z^k}$$
[/mm]
oder meinetwegen könnte man auch
[mm] $$\bruch{\partial^k{}f}{\partial z^k}$$
[/mm]
schreiben.
Das Symbol [mm] $\delta$ [/mm] hat eine gewisse Bedeutung, die man gerade in der
Thermodynamik ständig benutzt - siehe etwa ![[]](/images/popup.gif) hier.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:17 So 19.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie den Identitätssatz für offene Mengen:
> [mm]\Omega \subset \IC[/mm] Gebiet, f [mm]\in[/mm] Hol [mm](\Omega,\IC).[/mm] Ist U
> [mm]\subset \Omega[/mm] für [mm]f|_{U}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] f = 0
> Der Beweis wurde folgendermaßen in der Vorlesung bewiesen
> (in Kursiv stehen meine Fragen):
>
> Es sei [mm]\Omega_0:= \{z \in \Omega | \exists r_z > 0 mit f|_{\Delta_{r_{z}}} = 0 \}[/mm]
>
> Behauptung: [mm]\Omega[/mm] \ [mm]\Omega_0[/mm] ist offen in [mm]\Omega.[/mm]
Da [mm] \Omega [/mm] offen ist, bedeutet "offen in [mm] \Omega" [/mm] nichts anderse als "offen in [mm] \IC"
[/mm]
> ALso [mm]\Omega_0[/mm] ist abgeschlossen in [mm]\Omega?[/mm]
>
> Wenn dies dies nicht der Fall ist, dann [mm]\exists[/mm] p [mm]\in \Omega[/mm]
> \ [mm]\Omega_0[/mm] so dass für jedes r>0 gilt: [mm]\Delta_{r(p)} \cap \Omega_0 \not= \emptyset[/mm]
Wenn [mm]\Omega[/mm] \ [mm]\Omega_0[/mm] nicht offen ist, so ex. ein p [mm] \in[/mm] [mm]\Omega[/mm] \ [mm]\Omega_0[/mm] mit: p ist kein innerer Punkt von [mm]\Omega[/mm] \ [mm]\Omega_0[/mm]
>
> Dies verstehe ich nicht ganz. Der Schnitt der offenen
> Kriesscheibe um p mit [mm]\Omega_0[/mm] ist nicht leer weil [mm]\Omega_0[/mm]
> nicht abgeschlossen ist?
>
> Wähle [mm]r_{n}[/mm] > 0 mit [mm]r_{n} \to[/mm] 0, [mm]r_n \le r_{n+1}[/mm]
Was ist denn das für ein Unsinn ? Solch eine Folge gibt es nicht !
Aus [mm] 0
> und [mm]z_{n} \in \Delta_{r(p)} \cap \Omega_0[/mm]
Wie werden die [mm] z_n [/mm] denn gewählt ????
> . Dann gilt [mm]z_{n} \to[/mm] p
Wieso das denn ???
Der Beweis ist Schrott !
FRED
> und wir können annehmen:
> [mm]f(z)=\summe_{k=0}^{\infty}a_k (z-p)^k[/mm] für alle z \ in
> [mm]\Delta_{r_1(p)}[/mm]
> Hier wird die Holomorphie von f ausgenutzt?
>
> Dann benutzt der Beweis einmal, dass für eine in in
> offenen Kreisscheibe um [mm]z_0[/mm] konvergentzen Potenzreihe gilt:
> [mm]a_n=\bruch{p^{n}(z_0)}{n!}[/mm] und dass zwei Potenzreihen
> gleichsind wenn die Koeffizienten gleich sind.
>
> Für unser f folgt:
> [mm]a_k=\bruch{1}{k!}\bruch{\delta^k{}f}{\delta z^k}[/mm] (p)=
> [mm]\limes_{n\rightarrow0} \bruch{1}{k!}\bruch{\delta^k{}f}{\delta z^k} (z_n)=0[/mm]
>
> Hier verstehe ich nicht warum [mm]\bruch{\delta^k{}f}{\delta z^k} (z_n)[/mm]
> im limes 0 ist? Weil die Taylorreihe gegen 0 konvergiert?
>
> Und damit ist [mm]f|_{\Delta_{r_1}(p)}=0[/mm] und p [mm]\in \Omega_0[/mm] W!
> Was für ein Widerspruch wurde hier gezeigt,könnte mir
> das jemand erläutern?
> Also [mm]\Omega_0=\Omega[/mm] und f=0 in [mm]\Omega[/mm]
> Wir haben gezeigt dass wenn auf einer EInshcränkung f=0
> ist dann ist f auf ganz [mm]\Omega[/mm] = 0, damit Satz bewiesen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:16 So 19.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Es sollte [mm] r_{n+1}
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:25 So 19.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi!
>
> Es sollte [mm]r_{n+1}>r_n[/mm] gelten.
ich glaube, Fred meinte, dass der Unsinn dann darin bestehe, dass [mm] $r_n \to [/mm] 0$ gefordert wird. Jedenfalls, wenn man alle [mm] $r_n [/mm] > 0$ und [mm] $(r_n)_n$ [/mm] (streng) monoton wachsend fordert.
Also: Es wäre mal interessant, zu erfahren, welche Bedingungen an [mm] $r_n$ [/mm] nun wirklich gestellt werden. Denn aus [mm] $r_1 [/mm] > 0$ und [mm] $r_{n+1} [/mm] > [mm] r_n$ [/mm] (oder [mm] $r_{n+1} \ge r_n$) [/mm] für alle [mm] $n\,$ [/mm] folgt - im Falle der Konvergenz von [mm] $(r_n)_n$ [/mm] - sicherlich [mm] $\lim_{n \to \infty} r_n \ge r_1 [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Solche Folgen können also nicht gegen [mm] $0\,$ [/mm] streben!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:28 So 19.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ich habe mich auch gerade mit dem Zeichen vertan. ;) Also die [mm] r_n [/mm] sind Radien, die sinken und letztendlich gegen 0 gehen sollen. d.h. [mm] (r_n>0 [/mm] und) [mm] r_{n+1}
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