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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Mo 30.04.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Zeige:
[mm] $\sum_{i=r}^{n}\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}=\frac{\overbrace{\int_{0}^{p}t^{r-1}(1-t)^{n-r}\, dt}^{I_{p}(r,n-r+1)}}{\underbrace{\int_{0}^{1}t^{t-1}(1-t)^{n-r}\, dt}_{B(r,n-r+1)}}$ [/mm] |
Moin, als Hilfe ist folgende "Arbeitsanweisung" gegeben:
[mm] \textit{Beide Seiten nach p ableiten und die Gleichheit der Ableitungen und die Gleichheit der Funktionen in einem Punkt prüfen}
[/mm]
Ich hab erstmal den ersten Schritt gemacht und die beiden Seiten nach p abgeleitet:
Linke Seite:
[mm] $\frac{\partial}{\partial p}\left(\sum_{i=r}^{n}\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}\right)&=\sum_{i=r}^{n}\binom{n}{i}ip^{i-1}(1-p)^{n-i}-\binom{n}{i}p^{i}(n-i)(1-p)^{n-i-1}\\
[/mm]
[mm] &=\sum_{i=r}^{n}\binom{n}{i}\left(ip^{i-1}(1-p)^{n-i}-p^{i}(n-i)(1-p)^{n-i-1}\right)$
[/mm]
Rechte Seite:
[mm] $\frac{\partial}{\partial p}\left(\frac{\int_{0}^{p}t^{r-1}(1-t)^{n-r}\, dt}{\int_{0}^{1}t^{t-1}(1-t)^{n-r}\, dt}\right)&=\frac{(-(p-1))^{n-r}p^r\int_{0}^{1}t^{r-1}(1-t)^{n-r}\, dx}{p\left(\int_{0}^{1}t^{r-1}(1-t)^{n-r}\, dt\right)^2}\\
[/mm]
[mm] &=\frac{(-(p-1))^{n-r}p^{r-1}}{\int_{0}^{1}t^{r-1}(1-t)^{n-r}\, dt}$
[/mm]
Bis hierhin okay?
Was ist nun gemeint mit: Prüfe die Gleichheit der Ableitungen und die Gleichheit der Funktionen (welche Funktionen sind gemeint?)?
Hier stecke ich nämlich jetzt fest und komme nicht weiter nach dem gegebenen Tipp.
Ich freue mich auf Eure Hilfe!
LG, mikexx
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:12 Mo 30.04.2012 | | Autor: | mikexx |
Ich sehe gerade, daß ich in der Aufgabenstellung nicht alle Begrifflichkeiten genannt habe:
Es gilt:
[mm] $I_s(a,b)=\frac{\int_{0}^{s}t^{a-1}(1-t)^{b-1}\, dt}{B(a,b)}$
[/mm]
[mm] $B(a,b)=\int_{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{b-1}\, [/mm] dt$
Sowie [mm] $i,r,n\in\mathbb{N},p,s\in [/mm] (0,1),a,b>0$
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:07 Mo 30.04.2012 | | Autor: | dennis2 |
hi mikexx
also ich würd dir folgendes vorschlagen (ob das mit dem tipp, den du bekommen hast kompatibel ist, weiß ich nicht, aber es ist jedenfalls auch ein lösungsweg):
also erstmal setz mal die linke gleichungsseite als
$LHS=:H(p)$ dann ist das weniger schreibarbeit. 
dann bilde $H'(p)$. hast du ja sogar schon.
wenn du ein bisschen dir überlegst, wie man das umformen kann (binomialkoeffzient umformen) kommst du auf eine teleskopsumme und es kommt heraus:
[mm] $H'(p)=n\binom{n-1}{r-1}p^{r-1}(1-p)^{n-r}$
[/mm]
dann machst du mal folgendes:
[mm] $H(p)=\int_{0}^{p}H'(t)\, dt=n\binom{n-1}{r-1}\int_{0}^{p}t^{r-1}(1-t)^{n-r}\, [/mm] dt$
und jetzt schaust du mal, warum gilt:
[mm] $n\binom{n-1}{r-1}=\frac{1}{B(r,n-r+1)}$
[/mm]
(bedenke [mm] $\Gamma(n)=(n-1)!$ [/mm] und [mm] $B(a,b)=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$)
[/mm]
und dann hast du's
ist ein bisschen tricky, aber eigentlich ganz nachvollziehbar, finde ich
grüße und nen schönen 1. mai!
(wie der hinweis aus deiner aufgabe gemeint ist, weiß ich auch nicht, aber dieser lösungsweg ist auch okay. )
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