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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Beweisen Sie:
$$1+\cos\theta+\cos 2\theta+\hdots+\cos n\theta=\frac{1}{2}+\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right) \theta\right)}{2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$$ |
Nabend zusammen,
Mein Ansatz:
$1+\cos\theta+\cos 2\theta+\hdots+\cos n\theta$
$=\sum_{k=0}^{n}\Re\left(e^{ki\theta}\right)$
$=\Re\left(\sum_{k=0}^{n}e^{ki\theta}\right)$
$=\Re\left(\frac{\left(e^{i\theta}\right)^{n+1}-1}{e^{i\theta}-1}\right)$
Jetzt mit $2i$ und $e^{-i\frac{\theta}{2}}$ erweitern:
$=\Re\left(\frac{1}{\frac{2i\left(e^{i\frac{\theta}{2}}-e^{-i\frac{\theta}{2}}\right)}{2i}}*\left(e^{i\theta\left(n+\frac{1}{2}\right)}-e^{-i\frac{\theta}{2}}\right)\right)$
$=\Re\left(\frac{1}{2i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}*\left(e^{i\theta\left(n+\frac{1}{2}\right)}-e^{-i\frac{\theta}{2}}\right)\right)\right)$
Und jetzt hänge ich.
Kann mir jemand helfen?
Stefan.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:08 Do 21.10.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Beweisen Sie:
> [mm]1+\cos\theta+\cos 2\theta+\hdots+\cos n\theta=\frac{1}{2}+\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right) \theta\right)}{2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)[/mm]
>
> Nabend zusammen,
>
> Mein Ansatz:
>
> [mm]1+\cos\theta+\cos 2\theta+\hdots+\cos n\theta[/mm]
>
> [mm]=\sum_{k=0}^{n}\Re\left(e^{ki\theta}\right)[/mm]
>
> [mm]=\Re\left(\sum_{k=0}^{n}e^{ki\theta}\right)[/mm]
>
> [mm]=\Re\left(\frac{\left(e^{i\theta}\right)^{n+1}-1}{e^{i\theta}-1}\right)[/mm]
>
> Jetzt mit [mm]2i[/mm] und [mm]e^{-i\frac{\theta}{2}}[/mm] erweitern:
>
> [mm]=\Re\left(\frac{1}{\frac{2i\left(e^{i\frac{\theta}{2}}-e^{-i\frac{\theta}{2}}\right)}{2i}}*\left(e^{i\theta\left(n+\frac{1}{2}\right)}-e^{-i\frac{\theta}{2}}\right)\right)[/mm]
>
> [mm]=\Re\left(\frac{1}{2i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}*\left(e^{i\theta\left(n+\frac{1}{2}\right)}-e^{-i\frac{\theta}{2}}\right)\right)\right)[/mm]
>
> Und jetzt hänge ich.
Schreibe die beiden verbleibenden e-Funktionen wieder in trigonometrische Funktionen um:
[mm] e^{i\theta\left(n+\frac{1}{2}\right)}-e^{-i\frac{\theta}{2}} = \cos\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta\right) + i \sin \left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta\right) - \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) +i \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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