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Identität beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:09 So 07.12.2014
Autor: Die_Suedkurve

Aufgabe
Seien f: [mm] \IN [/mm] x [mm] \IN \to \IC, [/mm] g: [mm] \IZ \to \IC [/mm] Abbildungen.

Dann gilt:

[mm] \summe_{r,s=1}^{n}f(r,s) [/mm] = [mm] \summe_{h=0}^{n-1}\summe_{t=1}^{n-|h|}f(t [/mm] + |h|,t) + [mm] \summe_{h=-(n-1)}^{-1}\summe_{t=1}^{n-|h|}f(t,t [/mm] + |h|)

Hallo,

ich habe versucht das per Induktion zu beweisen, aber das funktioniert irgendwie nicht.
Gibt es auch eine andere, einfachere Möglichkeit?

        
Bezug
Identität beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:54 So 07.12.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Seien f: [mm]\IN[/mm] x [mm]\IN \to \IC,[/mm] g: [mm]\IZ \to \IC[/mm] Abbildungen.

g brauchen wir doch nirgends?

> Dann gilt:
>  
> [mm]\summe_{r,s=1}^{n}f(r,s)[/mm] =
> [mm]\summe_{h=0}^{n-1}\summe_{t=1}^{n-|h|}f(t[/mm] + |h|,t) +
> [mm]\summe_{h=-(n-1)}^{-1}\summe_{t=1}^{n-|h|}f(t,t[/mm] + |h|)
>  Hallo,
>  
> ich habe versucht das per Induktion zu beweisen, aber das
> funktioniert irgendwie nicht.
>  Gibt es auch eine andere, einfachere Möglichkeit?

Ich würde mir einfach folgendes angucken:

    [mm] $qG:=\{(r,s) \in \IN^2 \mid r,s \in \IN\}$ [/mm]

ist das Gitter eines Quadrates (Du kannst auch sagen: ein quadratisches
Gitter - deswegen [mm] $qG\,$). [/mm]

Die Frage ist, ob gilt:

    [mm] $qG=\stackrel{d}{\bigcup_{h=0}^{n-1}}\{(t+|h|,\,t)\mid t=1,...,n-|h|\}$ $\stackrel{d}{\cup}$ $\stackrel{d}{\bigcup_{h=-(n-1)}^{-1}}\{(t,\,t+|h|)\mid t=1,...,n-|h|\}\,,$ [/mm]

wobei die Mengen rechterhand alle disjunkt sein müssen. (Daher dieses
hochgestellte d beim Vereinigungszeichen im Sinne von *disjunkt vereinigt*)
- die Disjunktheit, damit wir nicht Funktionswerte mehrmals addieren, und
die Gleichheit der Vereinigung, damit wir auch alle Stellen durchlaufen, die
in [mm] $qG\,$ [/mm] drinstehen.
Anders gesagt: "qG = Disjunkte Vereinigung rechterhand", damit jede Stelle
des Gitters [mm] $qG\,$ [/mm] genau einmal durchlaufen wird!

Schauen wir uns das mal für [mm] $n=3\,$ [/mm] an, dann ist

    [mm] $qG=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)\}\,.$ [/mm]

Weiter ist

    [mm] $\bigcup_{h=0}^{n-1}\{(t+|h|,\,t)\mid t=1,...,n-|h|\}=\bigcup_{h=0}^{2}\{(t+h,\,t)\mid t=1,...,3-|h|\}=\{(1,1),(2,2),(3,3)\} \cup \{(2,1),(3,2)\} \cup \{(3,1)\}$ [/mm]

und

    [mm] $\bigcup_{h=-(n-1)}^{-1}\{(t,\,t+|h|)\mid t=1,...,n-|h|\}=\bigcup_{h=-2}^{-1}\{(t,\,t+|h|)\mid t=1,...,n-|h|\}=\{(1,3)\} \cup \{(1,2),(2,3)\}\,.$ [/mm]

Probier' das mal analog für [mm] $n=4\,$ [/mm] und schau, ob Du ein Schema erkennst.
Im Endeffekt kann man sagen: Es reicht, zu zeigen, dass durch

    [mm] $\bigcup_{h=0}^{n-1}\{(t+|h|,\,t)\mid t=1,...,n-|h|\}$ $\cup$ $\bigcup_{h=-(n-1)}^{-1}\{(t,\,t+|h|)\mid t=1,...,n-|h|\}$ [/mm]

ein Schema gegeben ist, das das Gitters $qG=qG(n)$ (welches die Größe [mm] $n^2$ [/mm]
hat) so durchläuft, dass jeder Punkt des Gitters genau einmal getroffen wird.

Oben hast Du schon gesehen bzw. das oben gesehene läßt sich verallgemeinern:
Bei

    [mm] $\bigcup_{h=0}^{n-1}\{(t+|h|,\,t)\mid t=1,...,n-|h|\}$ [/mm]

entsteht für [mm] $h=0\,$ [/mm] genau die Diagonale des quadratischen Gitters [mm] $qG\,$: [/mm]

    [mm] $\{(t+|0|,\,t)\mid t=1,...,n-|0|\}=\{(m,m) \mid m \in \{1,...,n\}\}\,.$ [/mm]        

Gruß,
  Marcel

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