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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:25 Do 10.12.2009 | | Autor: | blackylk |
| Aufgabe | Geben Sie eine Orthonormalbasis des [mm] \IC^{2} [/mm] aus Eigenvektoren von [mm] A=\pmat{ 1 & 2-4i \\ 2+4i & 2 } [/mm] an und schreiben Sie A als
A = UJU* mit einer unitaren Matrix U und einer Diagonalmatrix J. |
Erstmal berechne ich ja die Eigenwerte der Matrix A also:
[mm] det(A-\lambda E_n)=\lambda^{2}-3\lambda-18
[/mm]
[mm] p(\lambda)=(\lambda-6)*(\lambda+3)
[/mm]
Danach berechne ich den Eigenvektor für [mm] \lambda_1=6
[/mm]
[mm] \pmat{ -5 & 2-4i \\ 2+4i & -4 }=0
[/mm]
Ich bin zur Zeit echt zu blöd das LGS zu lösen. Wenn ich es mit Gauß mache hab ich da sowas stehen:
[mm] x_1 [/mm] ist die erste Spalte und [mm] x_2 [/mm] die zweite.
Erste Zeile rechne ich "/ -5"
[mm] A=\pmat{ 1 & -2/5+4i/5 \\ 2+4i & -4 }=0
[/mm]
danach rechne ich die erste Spalte mal (2+4i)
[mm] A=\pmat{ 2+4i & -4 \\ 2+4i & -4 }=0
[/mm]
danach subtraiere ich die erste zeile von der zweiten
[mm] A=\pmat{ 2+4i & -4 \\ 0 & 0 }=0
[/mm]
laut meiner Berechnung müsste
[mm] x_1(2+4i) [/mm] -4 ja 4 sein und [mm] x_2 [/mm] (-4) müsste ja -2-4i sein.
Aber Wolfram Alpha zeigt mir , das ein Eigenvektor hier [mm] v_1=(2-4i [/mm] , [mm] 5)^{T} [/mm] ist???
Kann ich jetzt mit meinen Werten weiterrechnen oder hab ich irgendwo nen Denkfehler?
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Hallo blackylk,
> Geben Sie eine Orthonormalbasis des [mm]\IC^{2}[/mm] aus
> Eigenvektoren von [mm]A=\pmat{ 1 & 2-4i \\ 2+4i & 2 }[/mm] an und
> schreiben Sie A als
> A = UJU* mit einer unitaren Matrix U und einer
> Diagonalmatrix J.
> Erstmal berechne ich ja die Eigenwerte der Matrix A also:
>
> [mm]det(A-\lambda E_n)=\lambda^{2}-3\lambda-18[/mm]
>
> [mm]p(\lambda)=(\lambda-6)*(\lambda+3)[/mm]
>
> Danach berechne ich den Eigenvektor für [mm]\lambda_1=6[/mm]
>
> [mm]\pmat{ -5 & 2-4i \\ 2+4i & -4 }=0[/mm]
>
> Ich bin zur Zeit echt zu blöd das LGS zu lösen. Wenn ich
> es mit Gauß mache hab ich da sowas stehen:
>
> [mm]x_1[/mm] ist die erste Spalte und [mm]x_2[/mm] die zweite.
>
> Erste Zeile rechne ich "/ -5"
> [mm]A=\pmat{ 1 & -2/5+4i/5 \\ 2+4i & -4 }=0[/mm]
>
> danach rechne ich die erste Spalte mal (2+4i)
>
> [mm]A=\pmat{ 2+4i & -4 \\ 2+4i & -4 }=0[/mm]
>
> danach subtraiere ich die erste zeile von der zweiten
>
> [mm]A=\pmat{ 2+4i & -4 \\ 0 & 0 }=0[/mm]
Alles etwas umständlich, aber ok.
Nun hast du [mm] $x_2$ [/mm] frei wählbar.
Setze [mm] $x_2:=t, t\in\IC$
[/mm]
Dann ist mit Zeile 1: [mm] $(2+4i)x_1-4t=0$, [/mm] also [mm] $(2+4i)x_1=4t$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow x_1=\frac{4}{2+4i}t=\frac{4(2-4i)}{20}t=\left(\frac{2}{5}-\frac{4}{5}i\right)t$
[/mm]
Also ist ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm] $\lambda=6$ [/mm] von der Form [mm] $(x_1,x_2)=\left(\left(\frac{2}{5}-\frac{4}{5}i\right)t,t\right), t\in\IC$
[/mm]
Mit $t=5$ erhältst du den "schönen" Eigenvektor von Wolfram
>
>
>
> laut meiner Berechnung müsste
> [mm]x_1(2+4i)[/mm] -4 ja 4 sein und [mm]x_2[/mm] (-4) müsste ja -2-4i sein.
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Was rechnest du da?
Das kapiere ich nicht!
>
> Aber Wolfram Alpha zeigt mir , das ein Eigenvektor hier
> [mm]v_1=(2-4i[/mm] , [mm]5)^{T}[/mm] ist???
> Kann ich jetzt mit meinen Werten weiterrechnen oder hab
> ich irgendwo nen Denkfehler?
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:38 Fr 11.12.2009 | | Autor: | blackylk |
> Hallo blackylk,
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> > Geben Sie eine Orthonormalbasis des [mm]\IC^{2}[/mm] aus
> > Eigenvektoren von [mm]A=\pmat{ 1 & 2-4i \\ 2+4i & 2 }[/mm] an und
> > schreiben Sie A als
> > A = UJU* mit einer unitaren Matrix U und einer
> > Diagonalmatrix J.
> > Erstmal berechne ich ja die Eigenwerte der Matrix A
> also:
> >
> > [mm]det(A-\lambda E_n)=\lambda^{2}-3\lambda-18[/mm]
> >
> > [mm]p(\lambda)=(\lambda-6)*(\lambda+3)[/mm]
> >
> > Danach berechne ich den Eigenvektor für [mm]\lambda_1=6[/mm]
> >
> > [mm]\pmat{ -5 & 2-4i \\ 2+4i & -4 }=0[/mm]
> >
> > Ich bin zur Zeit echt zu blöd das LGS zu lösen. Wenn ich
> > es mit Gauß mache hab ich da sowas stehen:
> >
> > [mm]x_1[/mm] ist die erste Spalte und [mm]x_2[/mm] die zweite.
> >
> > Erste Zeile rechne ich "/ -5"
> > [mm]A=\pmat{ 1 & -2/5+4i/5 \\ 2+4i & -4 }=0[/mm]
> >
> > danach rechne ich die erste Spalte mal (2+4i)
> >
> > [mm]A=\pmat{ 2+4i & -4 \\ 2+4i & -4 }=0[/mm]
> >
> > danach subtraiere ich die erste zeile von der zweiten
> >
> > [mm]A=\pmat{ 2+4i & -4 \\ 0 & 0 }=0[/mm]
>
> Alles etwas umständlich, aber ok.
>
> Nun hast du [mm]x_2[/mm] frei wählbar.
>
> Setze [mm]x_2:=t, t\in\IC[/mm]
>
> Dann ist mit Zeile 1: [mm](2+4i)x_1-4t=0[/mm], also [mm](2+4i)x_1=4t[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x_1=\frac{4}{2+4i}t=\frac{4(2-4i)}{20}t=\left(\frac{2}{5}-\frac{4}{5}i\right)t[/mm]
>
> Also ist ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm]\lambda=6[/mm] von der
> Form
> [mm](x_1,x_2)=\left(\left(\frac{2}{5}-\frac{4}{5}i\right)t,t\right), t\in\IC[/mm]
>
> Mit [mm]t=5[/mm] erhältst du den "schönen" Eigenvektor von
> Wolfram
>
> >
> >
> >
> > laut meiner Berechnung müsste
> > [mm]x_1(2+4i)[/mm] -4 ja 4 sein und [mm]x_2[/mm] (-4) müsste ja -2-4i sein.
>
>
>
> Was rechnest du da?
>
> Das kapiere ich nicht!
>
> >
> > Aber Wolfram Alpha zeigt mir , das ein Eigenvektor hier
> > [mm]v_1=(2-4i[/mm] , [mm]5)^{T}[/mm] ist???
> > Kann ich jetzt mit meinen Werten weiterrechnen oder hab
> > ich irgendwo nen Denkfehler?
>
>
> LG
>
> schachuzipus
Dann gehe ich ja Analog für den zweiten Eigenvektor analog vor und bilde für [mm] v_1 [/mm] eine Orhonormal Basis und für [mm] v_2. v_1 [/mm] orthogonalisiert => [mm] w_1
[/mm]
[mm] v_2 [/mm] orthogonalisiert => [mm] w_2
[/mm]
J ist dann die Diagonalmatrix bestehend aus den Polynomen also [mm] \pmat{ 6 & 0 \\ 0 & -3 }
[/mm]
U ist eine Unitäre Matrix.
Laut wiki :"Die unitäre Matrix ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Man bezeichnet damit eine komplexe quadratische Matrix, deren Spalten zueinander orthonormal sind. "
Das heisst die Vektoren [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] bilden U? Oder verwechsle ich da wieder etwas?
Müsste ich also dann später um auf U* zu kommen die Inverse von U berechnen, da ja U*U=I ist?
Danach nur noch A=UJU* aursrechnen gell?
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> > Hallo blackylk,
> >
> > > Geben Sie eine Orthonormalbasis des [mm]\IC^{2}[/mm] aus
> > > Eigenvektoren von [mm]A=\pmat{ 1 & 2-4i \\ 2+4i & 2 }[/mm] an und
> > > schreiben Sie A als
> > > A = UJU* mit einer unitaren Matrix U und einer
> > > Diagonalmatrix J.
Hallo,
Du hast eine hermitesche 2x2-Matrix A mit den beiden Eigenvektoren 6 und -3,
und den beiden beiden zugehörigen normierten Eigenvektoren [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2. [/mm]
Da die Matrix hermitesch ist, sind die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten automatisch orthogonal, also sind [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] orthogonal - wenn man richtig gerechnet hat.
>
> Dann gehe ich ja Analog für den zweiten Eigenvektor analog
> vor und bilde für [mm]v_1[/mm] eine Orhonormal Basis und für [mm]v_2. v_1[/mm]
> orthogonalisiert => [mm]w_1[/mm]
>
> [mm]v_2[/mm] orthogonalisiert => [mm]w_2[/mm]
Ich weiß nicht genau, was Du hier meinst. Eigentlich müßten [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] aus dem erwähnten grund bereists orthogonal sein.
Normieren liefert [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2.
[/mm]
>
> J ist dann die Diagonalmatrix bestehend aus den Polynomen
Aus Polynomem?
> also [mm]\pmat{ 6 & 0 \\ 0 & -3 }[/mm]
Genau.
>
> U ist eine Unitäre Matrix.
>
> Das heisst die Vektoren [mm]w_1[/mm] und [mm]w_2[/mm] bilden U? Oder
> verwechsle ich da wieder etwas?
Du sagst es richtig. [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] in eine Matrix gestellt ergeben das gesuchte U.
>
> Müsste ich also dann später um auf U* zu kommen die
> Inverse von U berechnen, da ja U*U=I ist?
Wenn Dein U wirklich richtig ist, die [mm] w_1, w_2 [/mm] also orthonormal sind, dann bekommst Du [mm] U^{\*} [/mm] ohne Rechnerei: U transponieren und konjugieren.
Die Berechnung der inversen Matrix sollte dasselbe ergeben.
>
> Danach nur noch A=UJU* aursrechnen gell?
Hinschreiben. Wenn man vorher richtig gerechnet hat, dann kann's ja gar nicht falsch sein. (Es zur Probe auszurechnen ist natürlich kein Fehler, im gegenteil!)
Gruß v. Angela
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Fr 11.12.2009 | | Autor: | blackylk |
> > > Hallo blackylk,
> > >
> > > > Geben Sie eine Orthonormalbasis des [mm]\IC^{2}[/mm] aus
> > > > Eigenvektoren von [mm]A=\pmat{ 1 & 2-4i \\ 2+4i & 2 }[/mm] an und
> > > > schreiben Sie A als
> > > > A = UJU* mit einer unitaren Matrix U und einer
> > > > Diagonalmatrix J.
>
>
> Hallo,
>
> Du hast eine hermitesche 2x2-Matrix A mit den beiden
> Eigenvektoren 6 und -3,
>
> und den beiden beiden zugehörigen normierten Eigenvektoren
> [mm]w_1[/mm] und [mm]w_2.[/mm]
>
> Da die Matrix hermitesch ist, sind die Eigenvektoren zu
> verschiedenen Eigenwerten automatisch orthogonal, also sind
> [mm]w_1[/mm] und [mm]w_2[/mm] orthogonal - wenn man richtig gerechnet hat.
>
> >
> > Dann gehe ich ja Analog für den zweiten Eigenvektor analog
> > vor und bilde für [mm]v_1[/mm] eine Orhonormal Basis und für [mm]v_2. v_1[/mm]
> > orthogonalisiert => [mm]w_1[/mm]
> >
> > [mm]v_2[/mm] orthogonalisiert => [mm]w_2[/mm]
>
> Ich weiß nicht genau, was Du hier meinst. Eigentlich
> müßten [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] aus dem erwähnten grund bereists
> orthogonal sein.
> Normieren liefert [mm]w_1[/mm] und [mm]w_2.[/mm]
> >
> > J ist dann die Diagonalmatrix bestehend aus den Polynomen
>
> Aus Polynomem?
>
> > also [mm]\pmat{ 6 & 0 \\ 0 & -3 }[/mm]
>
> Genau.
>
> >
> > U ist eine Unitäre Matrix.
> >
> > Das heisst die Vektoren [mm]w_1[/mm] und [mm]w_2[/mm] bilden U? Oder
> > verwechsle ich da wieder etwas?
>
> Du sagst es richtig. [mm]w_1[/mm] und [mm]w_2[/mm] in eine Matrix gestellt
> ergeben das gesuchte U.
>
> >
> > Müsste ich also dann später um auf U* zu kommen die
> > Inverse von U berechnen, da ja U*U=I ist?
>
> Wenn Dein U wirklich richtig ist, die [mm]w_1, w_2[/mm] also
> orthonormal sind, dann bekommst Du [mm]U^{\*}[/mm] ohne Rechnerei: U
> transponieren und konjugieren.
> Die Berechnung der inversen Matrix sollte dasselbe
> ergeben.
>
>
> >
> > Danach nur noch A=UJU* aursrechnen gell?
>
> Hinschreiben. Wenn man vorher richtig gerechnet hat, dann
> kann's ja gar nicht falsch sein. (Es zur Probe auszurechnen
> ist natürlich kein Fehler, im gegenteil!)
>
> Gruß v. Angela
>
>
> >
> >
>
Irgendwie rechne ich mich dumm und dämlich. Das Skalarprodukt vom Ersten normierten Vektor ist [mm] w_1 \not= [/mm] vom Skalarprodukt des zweiten normierten Vektors [mm] w_2 [/mm] bei mir, erklären kann ich es mir nicht.
Berechne ich jetzt [mm] w_1 [/mm] für den ersten Vektor, dann kommt bei mir sowas raus.
[mm] v_1=>w_1
[/mm]
[mm] v_1=\vektor{2-4i \\ 5}
[/mm]
normiert
[mm] w_1=\bruch{1}{\wurzel{45}}\vektor{2-4i \\ 5}
[/mm]
[mm] v_2=\vektor{-1+2i\\ 2}
[/mm]
normiert
[mm] w_2=\bruch{1}{\wurzel{9}}\vektor{-1+2i\\ 2}
[/mm]
Das ganze führt zu keiner vernünftigen Matrix U*, auch wenn ich für t =1 einsetze.
> Da die Matrix hermitesch ist, sind die Eigenvektoren zu
> verschiedenen Eigenwerten automatisch orthogonal, also sind
> [mm]w_1[/mm] und [mm]w_2[/mm] orthogonal - wenn man richtig gerechnet hat.
>
Dazu hab ich im Script folgendes gefunden:
Sei V ein Vektorraum. Ein reelles (komplexes) Skalarprodukt auf V ist eine
Abbildung
< .; . >: V x V ->R (C)
mit den Eigenschaften
(a) < v; v >= 0 und < v; v >= 0 <=> v = 0 De nitheit
(c) < u; v >=< v; u > < u; v [mm] >=\overline{< v; u >} [/mm] Hermitizität
Meinst du damit, das ich, sobald ich den ersten EV ausgerechnet habe, ihn komplex konjugieren muss ?
Dann müsste er ja so aussehen [mm] v_2=\vektor{-5\\ 2+4i}
[/mm]
Dann stimmen auch die Skalarprodukte, nur darf ich das machen, was ich hier zusammengewurschtelt hab?
U* wäre dann ja [mm] =\bruch{1}{\wurzel{45}}\pmat{ 2-4i & 5 \\ -5 & 2+4i }
[/mm]
Ist das bis hierhin richtig?
grüße
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> > > > Hallo blackylk,
> > > >
> > > > > Geben Sie eine Orthonormalbasis des [mm]\IC^{2}[/mm] aus
> > > > > Eigenvektoren von [mm]A=\pmat{ 1 & 2-4i \\ 2+4i & 2 }[/mm] an und
> > > > > schreiben Sie A als
> > > > > A = UJU* mit einer unitaren Matrix U und
> einer
> > > > > Diagonalmatrix J.
> >
> >
> > Hallo,
> >
> > Du hast eine hermitesche 2x2-Matrix A mit den beiden
> > Eigenvektoren 6 und -3,
> >
> > und den beiden beiden zugehörigen normierten Eigenvektoren
> > [mm]w_1[/mm] und [mm]w_2.[/mm]
> >
> > Da die Matrix hermitesch ist, sind die Eigenvektoren zu
> > verschiedenen Eigenwerten automatisch orthogonal, also sind
> > [mm]w_1[/mm] und [mm]w_2[/mm] orthogonal - wenn man richtig gerechnet hat.
> >
> > >
> > > Dann gehe ich ja Analog für den zweiten Eigenvektor analog
> > > vor und bilde für [mm]v_1[/mm] eine Orhonormal Basis und für [mm]v_2. v_1[/mm]
> > > orthogonalisiert => [mm]w_1[/mm]
> > >
> > > [mm]v_2[/mm] orthogonalisiert => [mm]w_2[/mm]
> >
> > Ich weiß nicht genau, was Du hier meinst. Eigentlich
> > müßten [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] aus dem erwähnten grund bereists
> > orthogonal sein.
> > Normieren liefert [mm]w_1[/mm] und [mm]w_2.[/mm]
> > >
> > > J ist dann die Diagonalmatrix bestehend aus den Polynomen
> >
> > Aus Polynomem?
> >
> > > also [mm]\pmat{ 6 & 0 \\ 0 & -3 }[/mm]
> >
> > Genau.
> >
> > >
> > > U ist eine Unitäre Matrix.
> > >
> > > Das heisst die Vektoren [mm]w_1[/mm] und [mm]w_2[/mm] bilden U? Oder
> > > verwechsle ich da wieder etwas?
> >
> > Du sagst es richtig. [mm]w_1[/mm] und [mm]w_2[/mm] in eine Matrix gestellt
> > ergeben das gesuchte U.
> >
> > >
> > > Müsste ich also dann später um auf U* zu kommen die
> > > Inverse von U berechnen, da ja U*U=I ist?
> >
> > Wenn Dein U wirklich richtig ist, die [mm]w_1, w_2[/mm] also
> > orthonormal sind, dann bekommst Du [mm]U^{\*}[/mm] ohne Rechnerei: U
> > transponieren und konjugieren.
> > Die Berechnung der inversen Matrix sollte dasselbe
> > ergeben.
> >
> >
> > >
> > > Danach nur noch A=UJU* aursrechnen gell?
> >
> > Hinschreiben. Wenn man vorher richtig gerechnet hat, dann
> > kann's ja gar nicht falsch sein. (Es zur Probe auszurechnen
> > ist natürlich kein Fehler, im gegenteil!)
> >
> > Gruß v. Angela
> >
> >
> > >
> > >
> >
>
> Irgendwie rechne ich mich dumm und dämlich. Das
> Skalarprodukt vom Ersten normierten Vektor ist [mm]w_1 \not=[/mm]
> vom Skalarprodukt des zweiten normierten Vektors [mm]w_2[/mm] bei
> mir, erklären kann ich es mir nicht.
Hallo,
ich weiß nicht genau, was Du damit meinst.
Der Kasus knacktus scheint zu sein, was Du selbst ahnst: Du hast mit dem falschen Skalarprodukt gerechnet.
Du mußt das komplexe Standardskalarprodukt nehmen: [mm] \vec x\cdot \vec [/mm] y := [mm] \sum_{i=1}^n x_i\overline{y_i} [/mm] = [mm] {x_1}\overline{y_1}+{x_2}\overline{y_2}+\dotsb [/mm] + [mm] {x_n}\overline{y_n}, [/mm]
Gruß v. Angela
>
>
>
> Berechne ich jetzt [mm]w_1[/mm] für den ersten Vektor, dann kommt
> bei mir sowas raus.
>
> [mm]v_1=>w_1[/mm]
>
> [mm]v_1=\vektor{2-4i \\ 5}[/mm]
> normiert
> [mm]w_1=\bruch{1}{\wurzel{45}}\vektor{2-4i \\ 5}[/mm]
>
>
>
> [mm]v_2=\vektor{-1+2i\\ 2}[/mm]
> normiert
> [mm]w_2=\bruch{1}{\wurzel{9}}\vektor{-1+2i\\ 2}[/mm]
>
>
> Das ganze führt zu keiner vernünftigen Matrix U*, auch
> wenn ich für t =1 einsetze.
>
> > Da die Matrix hermitesch ist, sind die Eigenvektoren zu
> > verschiedenen Eigenwerten automatisch orthogonal, also sind
> > [mm]w_1[/mm] und [mm]w_2[/mm] orthogonal - wenn man richtig gerechnet hat.
> >
> Dazu hab ich im Script folgendes gefunden:
> Sei V ein Vektorraum. Ein reelles (komplexes)
> Skalarprodukt auf V ist eine
> Abbildung
> < .; . >: V x V ->R (C)
> mit den Eigenschaften
> (a) < v; v >= 0 und < v; v >= 0 <=> v = 0 De nitheit
>
> (c) < u; v >=< v; u > < u; v [mm]>=\overline{< v; u >}[/mm]
> Hermitizität
>
>
> Meinst du damit, das ich, sobald ich den ersten EV
> ausgerechnet habe, ihn komplex konjugieren muss ?
>
> Dann müsste er ja so aussehen [mm]v_2=\vektor{-5\\ 2+4i}[/mm]
>
> Dann stimmen auch die Skalarprodukte, nur darf ich das
> machen, was ich hier zusammengewurschtelt hab?
>
> U* wäre dann ja [mm]=\bruch{1}{\wurzel{45}}\pmat{ 2-4i & 5 \\ -5 & 2+4i }[/mm]
>
> Ist das bis hierhin richtig?
>
> grüße
>
>
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 Sa 12.12.2009 | | Autor: | blackylk |
Eigentlich müsste das Skalarprodukt vom ersten normierten Vektor dasselbe sein wie vom zweiten normierten Vektor. Ich hab das Skalarprodukt auch komplex ausgerechnet. Also
[mm] v_1=\vektor{2-4i\\ 5}
[/mm]
=> [mm] (2-4i)*(2+4i)+5^{2}=20+25=45
[/mm]
normiert also
[mm] =>w_1=1/\wurzel{45}\vektor{2-4i\\ 5}
[/mm]
da ja [mm] z*\overline{z}=|z|^2 [/mm] sind, müsste das skalarprodukt richtig sein, oder was meintest du mit den Standardskalarprodukt von [mm] \vec{x}*\vec{y}=...
[/mm]
Was ist der Vektor x und y?
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Hallo blackylk,
> Eigentlich müsste das Skalarprodukt vom ersten normierten
> Vektor dasselbe sein wie vom zweiten normierten Vektor. Ich
> hab das Skalarprodukt auch komplex ausgerechnet. Also
>
> [mm]v_1=\vektor{2-4i\\ 5}[/mm]
>
> => [mm](2-4i)*(2+4i)+5^{2}=20+25=45[/mm]
> normiert also
> [mm]=>w_1=1/\wurzel{45}\vektor{2-4i\\ 5}[/mm]
>
> da ja [mm]z*\overline{z}=|z|^2[/mm] sind, müsste das skalarprodukt
> richtig sein, oder was meintest du mit den
> Standardskalarprodukt von [mm]\vec{x}*\vec{y}=...[/mm]
> Was ist der Vektor x und y?
Du scheinst gerade auf dem Schlauch zu stehen. Damit [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] orthogonal aufeinander stehen, müssen nicht ihre Skalarprodukte gleich sein (Was soll überhaupt das Skalarprodukt von einem Vektor sein?), sondern es muss
$0 = [mm] [/mm] := [mm] v_{1}^{T}*\overline{v_{2}}$
[/mm]
gelten. (Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren Null ergibt - hier handelt es sich um das komplexe Skalarprodukt!). Und das ist hier offenbar erfüllt, rechne es nach!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 Sa 12.12.2009 | | Autor: | blackylk |
$ 0 = [mm] [/mm] := [mm] v_{1}^{T}\cdot{}\overline{v_{2}} [/mm] $
$ [mm] \vec x\cdot \vec [/mm] $ y := $ [mm] \sum_{i=1}^n x_i\overline{y_i} [/mm] $ = $ [mm] {x_1}\overline{y_1}+{x_2}\overline{y_2}+\dotsb [/mm] $ + $ [mm] {x_n}\overline{y_n}, [/mm] $
Hier komm ich schon ins schwitzen.
Die erste Zeile bei [mm] v_1 [/mm] und [mm] \overline v_2 [/mm] : sieht sie so aus?: also
(2-4i)(-1+2i)
oder so
(2-4i)(-1+2i)(-1-2i)
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
und wie würde dann [mm] \overline{y_2}+{x_2} [/mm] aussehen???
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> [mm]0 = := v_{1}^{T}\cdot{}\overline{v_{2}}[/mm]
>
> [mm]\vec x\cdot \vec[/mm] y := [mm]\sum_{i=1}^n x_i\overline{y_i}[/mm] =
> [mm]{x_1}\overline{y_1}+{x_2}\overline{y_2}+\dotsb[/mm] +
> [mm]{x_n}\overline{y_n},[/mm]
>
> Hier komm ich schon ins schwitzen.
>
> Die erste Zeile bei [mm]v_1[/mm] und [mm]\overline v_2[/mm] : sieht sie so
> aus?: also
> (2-4i)(-1+2i)
Hallo,
ich schwitze, wenn ich das hier sehe, und schwermütig werde ich noch dazu.
Wenn Du nicht nur Ausschnitte ("erste Zeile", hä, beim Skalarprodukt?) präsentieren würdest, könnte man Deinem Problem sicher besser auf die Spur kommen. Und müßte nicht hinterher das T-Shirt wechseln.
Mal schauen, ob ich Deine Vektoren irgendwo finde - ja:
$ [mm] v_1=\vektor{2-4i \\ 5} [/mm] $
$ [mm] v_2=\vektor{-1+2i\\ 2} [/mm] $
So, jetzt rechne ich mal zwei Skalarprodukte aus:
[mm] =v_{1}^{T}\cdot{}\overline{v_{1}}=\pmat{2-4i&5}*\vektor{2+4i\\ 5}=(2-4i)(2+4i) [/mm] + 5*5=45
[mm] =v_{1}^{T}\cdot{}\overline{v_{2}}=\pmat{2-4i&5}*\vektor{-1-2i\\ 2}=(2-4i)(-1-2i)+5*2= [/mm] ...
> oder so
> (2-4i)(-1+2i)(-1-2i)
>
> und wie würde dann [mm]\overline{y_2}+{x_2}[/mm] aussehen???
Was soll das werden? Ich weiß nicht, was Du meinst.
Gruß v. Angela
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Sa 12.12.2009 | | Autor: | blackylk |
Autor: blackylk
Sry, hab mich irgendwie unglücklich ausgedrückt. Meinte eher den Betrag der Eigenvektoren. (nungut jetzt weiß ich halt wie ich ein komplexe konjugiertes Skalarprodukt bilden kann) btb
A=UJU*
U* setzt sich ja aus den normierten Eigenvektoren zusammen. Und hier weiß der Frosch nicht wo die locken sind. Rechne ich hier den Betrag von $ [mm] v_1 [/mm] $ aus , ergibt das nicht das selbe wie beim ausrechnen des Betrags von Eigenvektor $ [mm] v_2. [/mm] $
$ [mm] \bruch{1}{\wurzel{45}} [/mm] $ und $ [mm] \bruch{1}{\wurzel{9}} [/mm] $ =>führt zum Nervenkollaps wenn ich später A=UJU* ausrechnen soll
also U* [mm] =\pmat{ \bruch{2-4i}{\wurzel{45}} & \bruch{-1+2i}{\wurzel{9}} \\ \bruch{5}{\wurzel{45}} & \bruch{2}{\wurzel{9}}} [/mm]
Also muss es doch einen Trick geben, wie ich aus den ersten Eigenvektor einen zweiten Eigenvektor bekommen kann, der den selben Betrag hat?
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> A=UJU*
>
> U* setzt sich ja aus den normierten Eigenvektoren zusammen.
> Und hier weiß der Frosch nicht wo die locken sind. Rechne
> ich hier den Betrag von [mm]v_1[/mm] aus , ergibt das nicht das
> selbe wie beim ausrechnen des Betrags von Eigenvektor [mm]v_2.[/mm]
Hallo,
nee, wieso sollten die auch von vornherein gleichlang sein?
Deshalb normierst Du sie doch. Dann haben beide die Länge 1.
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{45}}[/mm] und [mm]\bruch{1}{\wurzel{9}}[/mm] =>führt
> zum Nervenkollaps wenn ich später A=UJU* ausrechnen soll
Naja, so'n Bruch wird Dich doch nicht umhauen! Übrigens ist [mm] \wurzel{9}=3 [/mm] und [mm] \wurzel{45}=3\wurzel{5}.
[/mm]
Du mußt A=UJU* ja auch nicht unbedingt ausrechnen. Wenn Du alles fein richtig bestimmt hat, dan muß es ja stimmen.
> also U* [mm]=\pmat{ \bruch{2-4i}{\wurzel{45}} & \bruch{-1+2i}{\wurzel{9}} \\ \bruch{5}{\wurzel{45}} & \bruch{2}{\wurzel{9}}}[/mm]
>
> Also muss es doch einen Trick geben, wie ich aus den ersten
> Eigenvektor einen zweiten Eigenvektor bekommen kann, der
> den selben Betrag hat?
Ich weiß nicht, was Du willst. Deine normierten Eigenvektoren haben doch beide den Betrag 1.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Sa 12.12.2009 | | Autor: | blackylk |
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> > A=UJU*
> >
> > U* setzt sich ja aus den normierten Eigenvektoren zusammen.
> > Und hier weiß der Frosch nicht wo die locken sind. Rechne
> > ich hier den Betrag von [mm]v_1[/mm] aus , ergibt das nicht das
> > selbe wie beim ausrechnen des Betrags von Eigenvektor [mm]v_2.[/mm]
>
> Hallo,
>
> nee, wieso sollten die auch von vornherein gleichlang sein?
> Deshalb normierst Du sie doch. Dann haben beide die Länge
> 1.
>
> >
> > [mm]\bruch{1}{\wurzel{45}}[/mm] und [mm]\bruch{1}{\wurzel{9}}[/mm] =>führt
> > zum Nervenkollaps wenn ich später A=UJU* ausrechnen soll
>
> Naja, so'n Bruch wird Dich doch nicht umhauen! Übrigens
> ist [mm]\wurzel{9}=3[/mm] und [mm]\wurzel{45}=3\wurzel{5}.[/mm]
>
> Du mußt A=UJU* ja auch nicht unbedingt ausrechnen. Wenn Du
> alles fein richtig bestimmt hat, dan muß es ja stimmen.
>
> > also U* [mm]=\pmat{ \bruch{2-4i}{\wurzel{45}} & \bruch{-1+2i}{\wurzel{9}} \\ \bruch{5}{\wurzel{45}} & \bruch{2}{\wurzel{9}}}[/mm]
> >
> > Also muss es doch einen Trick geben, wie ich aus den ersten
> > Eigenvektor einen zweiten Eigenvektor bekommen kann, der
> > den selben Betrag hat?
>
> Ich weiß nicht, was Du willst. Deine normierten
> Eigenvektoren haben doch beide den Betrag 1.
>
> Gruß v. Angela
Wieso haben sie jetzt den Betrag 1?![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
[mm] v_1 [/mm] hat doch den Betrag 45 und [mm] v_2 [/mm] nen Betrag von 9.?!
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Hallo nochmal,
> >
> > > A=UJU*
> > >
> > > U* setzt sich ja aus den normierten Eigenvektoren zusammen.
> > > Und hier weiß der Frosch nicht wo die locken sind. Rechne
> > > ich hier den Betrag von [mm]v_1[/mm] aus , ergibt das nicht das
> > > selbe wie beim ausrechnen des Betrags von Eigenvektor [mm]v_2.[/mm]
> >
> > Hallo,
> >
> > nee, wieso sollten die auch von vornherein gleichlang sein?
> > Deshalb normierst Du sie doch. Dann haben beide die Länge
> > 1.
> >
> > >
> > > [mm]\bruch{1}{\wurzel{45}}[/mm] und [mm]\bruch{1}{\wurzel{9}}[/mm] =>führt
> > > zum Nervenkollaps wenn ich später A=UJU* ausrechnen soll
> >
> > Naja, so'n Bruch wird Dich doch nicht umhauen! Übrigens
> > ist [mm]\wurzel{9}=3[/mm] und [mm]\wurzel{45}=3\wurzel{5}.[/mm]
> >
> > Du mußt A=UJU* ja auch nicht unbedingt ausrechnen. Wenn Du
> > alles fein richtig bestimmt hat, dan muß es ja stimmen.
> >
> > > also U* [mm]=\pmat{ \bruch{2-4i}{\wurzel{45}} & \bruch{-1+2i}{\wurzel{9}} \\ \bruch{5}{\wurzel{45}} & \bruch{2}{\wurzel{9}}}[/mm]
> > >
> > > Also muss es doch einen Trick geben, wie ich aus den ersten
> > > Eigenvektor einen zweiten Eigenvektor bekommen kann, der
> > > den selben Betrag hat?
> >
> > Ich weiß nicht, was Du willst. Deine normierten
> > Eigenvektoren haben doch beide den Betrag 1.
> >
> > Gruß v. Angela
>
> Wieso haben sie jetzt den Betrag 1?
> [mm]v_1[/mm] hat doch den Betrag 45
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Unsinn, rechne das mal vor.
Du hast hier im post mehr als hinreichend oftl den Hinweis bekommen, dass hier das komplexe Standardskalarprodukt zu nehmen ist.
Rechne mal [mm] $|v_1|=\sqrt{\langle v_1\cdot{}v_1\rangle}$ [/mm] aus ...
> und [mm]v_2[/mm] nen Betrag von 9.?!
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:43 Sa 12.12.2009 | | Autor: | blackylk |
Hallo
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> > [mm]v_1[/mm] hat doch den Betrag 45
>
>
>
>
> Unsinn, rechne das mal vor.
>
> Du hast hier im post mehr als hinreichend oftl den Hinweis
> bekommen, dass hier das komplexe Standardskalarprodukt zu
> nehmen ist.
>
> Rechne mal [mm]|v_1|=\sqrt{\langle v_1\cdot{}v_1\rangle}[/mm] aus
> ...
>
> > und [mm]v_2[/mm] nen Betrag von 9.?!
> >
>
>
> Gruß
>
> schachuzipus
$ [mm] =v_{1}^{T}\cdot{}\overline{v_{1}}=\pmat{2-4i&5}\cdot{}\vektor{2+4i\\ 5}=(2-4i)(2+4i) [/mm] $ + 5*5=45
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:48 Sa 12.12.2009 | | Autor: | blackylk |
[mm] \wurzel [/mm] {45}
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo nochmal,
es ist alles reichlich unübersichtlich hier im thread.
Ich dachte, es sei mittlerweise geklärt, dass die normierten Vektoren so aussähen:
$v_1=\vektor{\frac{2-4i}{\sqrt{45}}\\\frac{5}{\sqrt{45}}$
$v_2=\vektor{\frac{-1+2i}{\sqrt{9}}\\\frac{2}{\sqrt{9}}$
Die haben Länge 1 bzgl. des komplexen Standardskalarproduktes.
Wenn du was anderes meintest, solltest du der Übersicht halber mal das wesentliche zusammenschreiben und genau sagen, auf was du dich mit den Bezeichnungen beziehst ...
LG
schachuzipus
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