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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:20 Mo 29.06.2009 | | Autor: | Klopfer |
Ich komme bei folgender Aufgabe überhaupt nicht weiter:
Sei H ein Hilbertraum und p:H [mm] \to [/mm] H ein beschränkter Operator.
Wir nennen p:H [mm] \to [/mm] H idempotent, wenn [mm] p^2=p.
[/mm]
Wir nennen p eine Projektion, wenn [mm] p^2=p [/mm] und p*=p.
(1)Zeigen sie, dass p genau dann idempotent ist,
wenn es abgeschlossene Unterräume [mm] H_{0}, H_{1}\subsetH [/mm] gibt mit
[mm] H_{o} \cap H_{1}={0} [/mm] , [mm] H_{o}+H_{1}=H [/mm] und [mm] p(x_{0}+x_{1}) =x_{1} [/mm] für alle [mm] x_{0} \varepsilon H_{0} [/mm] , [mm] x_{1} \varepsilon H_{1}
[/mm]
(2)Zeigen Sie, dass p Projektion is genau dann,wenn zusätzlich [mm] H_{0}\perpH_{1} [/mm] gilt.
Dann ist p die orthogonale Projektion auf [mm] H_{1}
[/mm]
Zu meinen Überlegungen:
Ich gehe davon aus, dass man schauen muss, wie die endlich-dimensionale Projektionen aussehen.
Man sieht,dass der Operator auf [mm] H_{0} [/mm] verschwindet und auf [mm] H_{1} [/mm] die Identität bleibt
Man muss ja zunächst zeigen,dass [mm] H_{0} [/mm] im Kern von p enthalten ist.
Wie gehe ich denn da vor?
Kann mir bitte jemand helfen?
Würde mich sehr freuen!
Lieben Gruß,
klopfer
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:21 Di 30.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ich komme bei folgender Aufgabe überhaupt nicht weiter:
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> Sei H ein Hilbertraum und p:H [mm]\to[/mm] H ein beschränkter
> Operator.
> Wir nennen p:H [mm]\to[/mm] H idempotent, wenn [mm]p^2=p.[/mm]
> Wir nennen p eine Projektion, wenn [mm]p^2=p[/mm] und p*=p.
>
> (1)Zeigen sie, dass p genau dann idempotent ist,
> wenn es abgeschlossene Unterräume [mm]H_{0}, H_{1}\subsetH[/mm]
> gibt mit
> [mm]H_{o} \cap H_{1}={0}[/mm] , [mm]H_{o}+H_{1}=H[/mm] und [mm]p(x_{0}+x_{1}) =x_{1}[/mm]
> für alle [mm]x_{0} \varepsilon H_{0}[/mm] , [mm]x_{1} \varepsilon H_{1}[/mm]
1. Wenn
$ [mm] H_{o} \cap H_{1}={0} [/mm] $ , $ [mm] H_{o}+H_{1}=H [/mm] $ und $ [mm] p(x_{0}+x_{1}) =x_{1} [/mm] $ für alle $ [mm] x_{0} \varepsilon H_{0} [/mm] $ , $ [mm] x_{1} \varepsilon H_{1} [/mm] $,
so folgt [mm] $p^2(x_{0}+x_{1}) [/mm] = [mm] p(x_1) [/mm] = [mm] x_1 [/mm] = [mm] p(x_{0}+x_{1})$ [/mm] , also [mm] p^2=p
[/mm]
2. Wenn [mm] p^2 [/mm] = p, so setze [mm] H_0 [/mm] = kern(p) und [mm] H_1 [/mm] = bild(p)
FRED
>
> (2)Zeigen Sie, dass p Projektion is genau dann,wenn
> zusätzlich [mm]H_{0}\perpH_{1}[/mm] gilt.
> Dann ist p die orthogonale Projektion auf [mm]H_{1}[/mm]
>
> Zu meinen Überlegungen:
> Ich gehe davon aus, dass man schauen muss, wie die
> endlich-dimensionale Projektionen aussehen.
> Man sieht,dass der Operator auf [mm]H_{0}[/mm] verschwindet und auf
> [mm]H_{1}[/mm] die Identität bleibt
> Man muss ja zunächst zeigen,dass [mm]H_{0}[/mm] im Kern von p
> enthalten ist.
> Wie gehe ich denn da vor?
> Kann mir bitte jemand helfen?
> Würde mich sehr freuen!
>
> Lieben Gruß,
> klopfer
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:37 Mi 01.07.2009 | | Autor: | Klopfer |
Hallo Fred,
vielen lieben Dank für deine Antwort!
Ich gehe doch nun folgendermaßen vor (?!?):
Wenn [mm] p^2=p,
[/mm]
setze [mm] H_{0}=kern(p) [/mm] , [mm] H_{1}=bild(p).
[/mm]
Dann sind [mm] H_{0} [/mm] und [mm] H_{1} [/mm] abgeschlossene UVRe.
Klar gilt dann [mm] H_{0} \cap H_{1}=0 [/mm] und [mm] H_{0}+H_{1}=H
[/mm]
und [mm] p^2(x_{0}+x_{1})=p(x_{0}+x_{1})=x_{1} [/mm] für alle [mm] x_{0} \varepsilon H_{0} [/mm] und [mm] x_{1} \varepsilon H_{1}
[/mm]
zu (2)
Zeigen Sie, dass p Projektion ist genau dann,wenn
> zusätzlich $ [mm] H_{0} \perp H_{1} [/mm] $ gilt.
> Dann ist p die orthogonale Projektion auf $ [mm] H_{1} [/mm] $
Sei p Projektion.
Da wir nun kern(p) und Bild(p)als abgeschlossene Teilräume des Hilbertraumes H vorliegen haben, können wir den Projektionssatz benutzen. Dieser liefert uns eine eindeutige Zerlegung für jedes x [mm] \varepsilonH [/mm] :
x=y+z , wobei y [mm] \varepsilon H_{1} [/mm] und z [mm] \varepsilon H_{1}^\perp
[/mm]
Diese angegebene Abbildung ist eine orthogonale Projektion.
Die Abb. p :X [mm] \to H_{1} [/mm] , [mm] x\mapsto [/mm] y ist offenbar linear und es gilt:
D(p)=X (D= Definitionsbereich)
R(p)=Y (R=Wertebereich)
N(p)= [mm] Y^\perp
[/mm]
[mm] \parallel [/mm] p [mm] \parallel \le1
[/mm]
Offenbar ist jede Projektion idempotent.
Ist das so richtig???
Hoffe auf Antwort!
Liebe Grüße
Klopfer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:21 Fr 03.07.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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