Idempotente Ringe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Do 10.12.2009 | | Autor: | phychem |
Hallo
Meine Frage ist eigentlich absolut trivial und es ist mir schon fast peinlich dafür einen Thread zu eröffnen, aber irgendwie lauf ich mental gerade gegen eine Wand.
Es geht um idempotente Ringe. Ich will beweisen, dass idempotente Ringe stets auch kommutativ sind. Im Wikipedia-Artikel zur Idempotenz
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Idempotenz
findet man einen entsprechenden Beweis. Dieser ist eigentlich absolut trivial, dennoch kann ich ihn nicht ganz nachvollziehen.
Zuerst beweist man, dass
0=ab+ba
gilt. Dies kann aufgrund der Idempotenz der Multiplikation geschrieben werden als
0=abab+baba
Nun steht
"..und damit 0=abab+abab"
Wie kommt man zu dieser Aussage? Ich finde kein entsprechendes Argument, das dies begründen könnte....
Vermutlich überseh ich einfach was....
mfg phychem
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:19 Do 10.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Meine Frage ist eigentlich absolut trivial und es ist mir
> schon fast peinlich dafür einen Thread zu eröffnen, aber
> irgendwie lauf ich mental gerade gegen eine Wand.
So trivial ist das gar nicht :)
> Es geht um idempotente Ringe. Ich will beweisen, dass
> idempotente Ringe stets auch kommutativ sind. Im
> Wikipedia-Artikel zur Idempotenz
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Idempotenz
>
> findet man einen entsprechenden Beweis. Dieser ist
> eigentlich absolut trivial, dennoch kann ich ihn nicht ganz
> nachvollziehen.
>
> Zuerst beweist man, dass
> 0=ab+ba
> gilt. Dies kann aufgrund der Idempotenz der Multiplikation
> geschrieben werden als
> 0=abab+baba
> Nun steht
> "..und damit 0=abab+abab"
>
> Wie kommt man zu dieser Aussage? Ich finde kein
> entsprechendes Argument, das dies begründen könnte....
Das finde ich auch ziemlich komisch, ich sehe das auch nicht.
Allerdings kommt man mit dem Anfang trotzdem zum Ziel (sogar noch einfacher als in dem Artikel). Man hat ja $0 = a b + b a$, also $b a = -a b = (-1) a b$. Nun ist $-1 = [mm] (-1)^2 [/mm] = 1$, womit $b a = 1 [mm] \cdot [/mm] a b = a b$ ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Do 10.12.2009 | | Autor: | phychem |
Danke für die Antwort.
Das Problem bei deiner Methode ist die Eins. Der Ring braucht ja nicht zwingend unitär zu sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:37 Do 10.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Danke für die Antwort.
>
> Das Problem bei deiner Methode ist die Eins. Der Ring
> braucht ja nicht zwingend unitär zu sein.
Ok, das ist natuerlich ein Problem.
Kannst du zeigen, dass in einem Ring (ohne Eins) gilt, dass $- (a b) = (-a) b = a (-b)$ ist? Daraus folgt [mm] $(-a)^2 [/mm] = -(a [mm] \cdot [/mm] (-a)) = -(-(a [mm] \cdot [/mm] a)) = [mm] a^2$.
[/mm]
Da dein Ring idempotent ist folgt daraus $a = -a$, womit $a b = -b a = b a$ folgt; so ganz ohne Eins :)
Ich frage mich allerdings gerade, wie (und ob) man $-(a b) = (-a) b = a (-b)$ gezeigt bekommt in einem Ring ohne Eins. Aber ich seh grad, man kann einfach ein Einselement adjungieren und das Ergebnis im neuen Ring zeigen; es gilt dann automatisch auch im alten Ring, da dort alles was man zum Hinschreiben der Relation braucht existiert.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:57 Do 10.12.2009 | | Autor: | phychem |
Ja ich kann die Beziehung
- (a b) = (-a) b = a (-b)
beweisen:
Aus 0a=a0=0 und b+(-b)=0 folgt:
0=a0=ab+a(-b)
-(ab)=a(-b)
Analog kann man -(ab)=(-a)b zeigen.
Mit dem von dir beschriebenen zweiten Teil hat man dann die Kommutativtät bewiesen.
Ich danke dir.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:03 Do 10.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ja ich kann die Beziehung
> - (a b) = (-a) b = a (-b)
> beweisen:
>
> Aus 0a=a0=0 und b+(-b)=0 folgt:
>
> 0=a0=ab+a(-b)
> -(ab)=a(-b)
>
> Analog kann man -(ab)=(-a)b zeigen.
Jaaa, genau das war's. Manchmal sieht man den Wald vor lauter Baeumen nicht... :)
LG Felix
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